Скаляр тапкырчыгышны векторлар проекциясе ярдәмендә аңлату Скаляр тапкырчыгыш — ике вектор өстеннән операция нәтиҗәсендә кординатлар системасына бәйсез һәм векторларның озынлыгы һәм арасындагы почмакны тасвирлаучы сан (скаляр).
Х векторының озынлыгы һәм у векторының х векторына проекциясе тапкырчыгышы әлеге операциягә туры килә.
Гадәттә векторларның скаляр тапкырчыгышы болай билгеләнә:
⟨ a , b ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle } , ( a , b ) {\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )} , a ⋅ b {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} } ,квант механикасында халәт векторы өчен шулай ук Дирак билгәләмәсе кулланыла:
⟨ a | b ⟩ {\displaystyle \langle a|b\rangle } .Гадәттә скаляр тапкырчыгыш уңай итеп билгеләнгән, ягъни:
⟨ a , a ⟩ > 0 {\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle >0} барлык a ≠ 0 {\displaystyle a\not =0} .Югыйсә ул билгеләнмәгән тапкырчыгыш (тензор тапкырчыгышы) дип атала.
Ике вектор a = [a 1 , a 2 , ..., a n ] һәм b = [b 1 , b 2 , ..., b n ] скаляр тапкырчыгышы n -үлчәмле чын фәзада болай билгеләнә:
a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}} .Мәсәлән, өч-үлчәмле фәзада векторлар [1, 3, −5] һәм [4, −2, −1] скаляр тапкырчыгышы болай исәпләнә:
[ 1 , 3 , − 5 ] ⋅ [ 4 , − 2 , − 1 ] = 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ ( − 2 ) + ( − 5 ) ⋅ ( − 1 ) = 4 − 6 + 5 = 3. {\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}} Комплекс векторлар a = [a 1 , a 2 , ..., a n ] һәм b = [b 1 , b 2 , ..., b n ] скаляр тапкырчыгышы болай билгеләнә:
a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i ¯ = a 1 b 1 ¯ + a 2 b 2 ¯ + ⋯ + a n b n ¯ {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}} .Мәсәлән, [ 1 + i , 2 ] ⋅ [ 2 + i , i ] = ( 1 + i ) ⋅ ( 2 + i ¯ ) + 2 ⋅ i ¯ = ( 1 + i ) ⋅ ( 2 − i ) + 2 ⋅ ( − i ) = 3 − i {\displaystyle [1+i,2]\cdot [2+i,i]=(1+i)\cdot ({\overline {2+i}})+2\cdot {\overline {i}}=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i}
A • B = |A | |B | cos(θ)Векторлар озынлыгы һәм арасындагы почмак төшенчәләре кертелгән һәм билгеләнгән очракта (классик геометриядә нәкъ шулай була), скаляр тапкырчыгышы векторларның озынлыгы һәм алар арасындагы почмак ярдәмендә билгеләнә:
⟨ a , b ⟩ = | a | ⋅ | b | ⋅ cos ∠ ( a , b ) {\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}} Заманча аксиоматикада баштарак скаляр тапкырчыгыш билгеләнә, ә аннан вектор озынлыгы һәм почмак чыгарыла.
косинус теоремасы скаляр тапкырчыгыш ярдәмендә җиңел итеп чыгарыла: | B C | 2 = B C → 2 = ( A C → − A B → ) 2 = ⟨ A C → − A B → , A C → − A B → ⟩ = A C → 2 + A B → 2 − 2 ⟨ A C → , A B → ⟩ = | A B | 2 + | A C | 2 − 2 | A B | | A C | cos A ^ {\displaystyle |BC|^{2}={\vec {BC}}^{2}=({\vec {AC}}-{\vec {AB}})^{2}=\langle {\vec {AC}}-{\vec {AB}},{\vec {AC}}-{\vec {AB}}\rangle ={\vec {AC}}^{2}+{\vec {AB}}^{2}-2\langle {\vec {AC}},{\vec {AB}}\rangle =|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|\cos {\hat {A}}} Векторлар арасындагы почмак: α = arccos ⟨ a , b ⟩ ⟨ a , a ⟩ ⟨ b , b ⟩ {\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }{\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle }}}} Векторлар арасындагы почмакны бәяләү: ⟨ a , b ⟩ = | a | ⋅ | b | ⋅ cos ∠ ( a , b ) {\displaystyle \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}} формуласында тамга почмакның косинусы белән билгеләнә (векторлар нормалары һаман уңай), шуңа күрә арасындагы почмак кысынкы булса, скаляр тапкырчыгыш > 0, ә әгәр арасындагы почмак җәенке булса, скаляр тапкырчыгыш < 0. Векторның проекциясе: a e = ⟨ a , e ⟩ = | a | | e | cos ∠ ( a , e ) = | a | cos ∠ ( a , e ) {\displaystyle a_{e}=\langle \mathbf {a} ,\mathbf {e} \rangle =|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}} , чөнки | e | = 1 {\displaystyle |\mathbf {e} |=1} ортогональлек шарты (перпендикулярлык шарты) a {\displaystyle \mathbf {a} } һәм b {\displaystyle \mathbf {b} } векторлары өчен: a ⊥ b ⇔ ⟨ a , b ⟩ = 0 {\displaystyle \mathbf {a} \bot \mathbf {b} \Leftrightarrow \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =0} Ике вектор a {\displaystyle \mathbf {a} \ } һәм b {\displaystyle \mathbf {b} \ } - нигезендәге параллелограмм мәйданы: ⟨ a , a ⟩ ⟨ b , b ⟩ − ⟨ a , b ⟩ 2 {\displaystyle {\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle -\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle ^{2}}}\ } Сызыкча фәзада Һәр x {\displaystyle \mathbf {x} } һәм y {\displaystyle \mathbf {y} } элементлары өчен түбәндәге тигезсезлек үтәлә:
| ⟨ x , y ⟩ | 2 ≤ ⟨ x , x ⟩ ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle \vert \langle x,y\rangle \vert ^{2}\leq \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle }
L {\displaystyle \mathbb {L} } - вектор фәзасында C {\displaystyle \mathbb {C} } - комплекс (яки R {\displaystyle \mathbb {R} } чын) саннар кыры өстеннән ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle } скаляр тапкырчыгыш болай итеп билгеләнә - һәр пар элемент өчен түбәндәге шартлар үтәлә:
L {\displaystyle \mathbb {L} } сызыкча фәзасында һәр өч элемент x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} һәм y {\displaystyle y} һәм теләгән санннар α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } өчен: ⟨ α x 1 + β x 2 , y ⟩ = α ⟨ x 1 , y ⟩ + β ⟨ x 2 , y ⟩ {\displaystyle \langle \alpha x_{1}+\beta x_{2},y\rangle =\alpha \langle x_{1},y\rangle +\beta \langle x_{2},y\rangle } (сызыклылык);һәр x {\displaystyle x} һәм y {\displaystyle y} өчен: ⟨ y , x ⟩ = ⟨ x , y ⟩ ¯ {\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}} , биредә сызык - комплекс иярү[1] дип билгели;һәр x {\displaystyle x} өчен ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0} , һәм ⟨ x , x ⟩ = 0 {\displaystyle \langle x,x\rangle =0} тик x = 0 {\displaystyle x=0} булган очракта (скаляр тапкырчыгыш уңай).Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234. Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с. Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002) Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.