Rafael Bombelli

Rafael Bombelli, 20 Ocak 1526'da^[3] Bologna, Papalık Devletleri'nde vaftiz edildi. Yün tüccarı Antonio Mazzoli ile bir terzinin kızı olan Diamante Scudieri'nin çocuğu olarak dünyaya geldi. Mazzoli ailesi, bir zamanlar Bolonya'da oldukça güçlüydü. Papa Julius II, 1506 yılında iktidara geldiğinde, yönetici aile olan Bentivoglioları sürgüne gönderdi. Bentivoglio ailesi 1508'de Bolonya'yı geri almaya çalıştı, ancak başarısız oldu. Rafael'in büyükbabası darbe girişimine katıldı ve yakalanıp idam edildi. Daha sonra Antonio, Mazzoli ailesinin ününden kaçmak için soyadını Bombelli olarak değiştirerek Bolonya'ya dönebildi. Rafael, altı çocuğun en büyüğüydü. Rafael, üniversite eğitimi almamış, bunun yerine Pier Francesco Clementi adında bir mühendis-mimar tarafından eğitilmiştir.

Bombelli, zamanının önde gelen matematikçilerinin cebir üzerine yazdığı eserlerin hiçbirinin konuyu dikkatli ve kapsamlı bir şekilde açıklamadığını düşünüyordu. Rafael, sadece matematikçilerin anlayabileceği başka bir dolambaçlı tez yerine, cebir üzerine herkesin anlayabileceği bir kitap yazmaya karar verdi. Metni kendi içinde tutarlı olacak ve yüksek öğrenim görmeyenler tarafından da kolayca okunabilecekti.

Bombelli, 1572 yılında Roma'da öldü.

Bombelli, 1572 yılında yayımlanan Algebra (“Cebir”) başlıklı kitabında, o dönemde bilinen cebirin kapsamlı bir açıklamasını yapmıştır. Negatif sayılarla hesaplama yapmanın yolunu yazan ilk Avrupalıydı. Aşağıda metinden bir alıntı yer almaktadır:

Bombelli, yukarıda da görüldüğü üzere, herkesin anlayabileceği basit bir dil kullanmıştır. Ama aynı zamanda, çok da titizdi.

Bombelli, ilk kez basılı bir metinde (Algebra adlı eserinin II. kitabında)

${\displaystyle x^{3}=6x+40}$

denkleminin

1U3 a. 6U1 p. 40.^[4]

olarak göründüğü ve U3'ü üzerinde 3 rakamı olan kabarık bir çanak şeklinde (büyük U harfinin kavisli kısmı gibi) yazdığı bir indeks notasyonu biçimini tanıttı. Tam sembolik gösterim kısa bir süre sonra Fransız matematikçi François Viète tarafından geliştirildi.

Ancak belki de cebirle ilgili çalışmalarından daha önemlisi, kitapta Bombelli'nin karmaşık sayılar teorisine yaptığı olağanüstü katkıların da yer almasıdır. Karmaşık sayılar hakkında yazmadan önce, ${\displaystyle x^{3}=ax+b,}$ formundaki denklemlerin çözümlerinde ortaya çıktıklarına işaret eder, ${\displaystyle (a/3)^{3}>(b/2)^{2},}$ kübiğin (üçündü derece denklemin) diskriminantının negatif olduğunu belirtmenin başka bir yoludur. Bu tür bir denklemin çözümü, bir sayının toplamının küp kökünü ve bazı negatif sayıların karekökünü almayı gerektirir.

Bombelli, sanal sayıları pratik olarak kullanmaya başlamadan önce, karmaşık sayıların özelliklerinin ayrıntılı bir açıklamasına girdi. Hemen ardından, sanal sayılar için aritmetik kurallarının gerçek sayılar için olanlarla aynı olmadığını açıkça ortaya koydu. Bu büyük bir başarıydı, çünkü kendisinden sonra gelen çok sayıda matematikçinin bile bu konuda kafası son derece karışıktı.

Bombelli, negatif sayıların kareköklerini diğer matematikçilerin yaptığı gibi normal radikaller olarak ele almak yerine bunlara özel bir isim vererek kafa karışıklığını önledi. Bu, söz konusu sayıların ne pozitif ne de negatif olduğunu açıkça ortaya koymuştur. Bu tür bir sistem Euler'in karşılaştığı karışıklığı önler. Bombelli, sanal i sayısını eksinin artısı olarak adlandırdı ve -i için eksinin eksisi ifadesini kullandı.

Bombelli, sanal sayıların kuartik (dördüncü derece) ve kübik denklemleri çözmek için çok önemli ve gerekli olduğunu görecek öngörüye sahipti. O zamanlar insanlar karmaşık sayıları sadece pratik denklemleri çözmek için bir araç olarak görüyorlardı. Bu nedenle Bombelli, Cardano gibi diğer matematikçilerin pes ettiği casus irreducibilis durumlarında bile Scipione del Ferro'nun kuralını kullanarak çözüm elde edebilmiştir.

Bombelli kitabında karmaşık aritmetiği şu şekilde açıklıyor:

Bombelli, gerçek ve sanal sayıların çarpımını ele aldıktan sonra, toplama ve çıkarma kurallarından bahsetmeye devam eder. Gerçek kısımların gerçek kısımlara, sanal kısımların da sanal kısımlara eklendiğine dikkat çeker.

Bombelli, genellikle karmaşık sayıların mucidi olarak kabul edilir, çünkü ondan önce hiç kimse bu tür sayılarla uğraşmak için kurallar koymamıştı ve hiç kimse sanal sayılarla çalışmanın yararlı sonuçlar doğuracağına inanmıyordu. Bombelli'nin Algebra kitabını okuduktan sonra Leibniz, Bombelli'yi “... analitik sanatın olağanüstü ustası” olarak övmüştür. Crossley, kitabında şöyle yazmaktadır: “Böylece, Cardan negatif sayıların kareköklerini işe yaramaz bulurken, Bombelli adında bir mühendis, belki de kendisine yararlı sonuçlar verdiği için karmaşık sayıları pratik olarak kullanmıştır. Bombelli karmaşık sayıları ilk kez ele alan kişidir. . . Karmaşık sayıların hesaplama yasalarını sunuşundaki titizliği dikkate değerdir.”^[5]

Başarılarının onuruna bir Ay kraterine Bombelli adı verilmiştir.

Bombelli karekökleri hesaplamak için sürekli kesirler ile ilgili bir yöntem kullanmıştır. Henüz sürekli kesir kavramına sahip değildi ve aşağıda Pietro Cataldi (1613) tarafından verilen daha sonraki bir versiyonun algoritması bulunmaktadır.^[6]

${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ bulma yöntemi ${\displaystyle n=(a\pm r)^{2}=a^{2}\pm 2ar+r^{2}\ }$ ve ${\displaystyle 0<r<1\ }$ ile başlar ve buradan ${\displaystyle r={\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm r}}}$ olduğu gösterilebilir. ${\displaystyle r}$ için sağ taraftaki ifadenin kendi içinde tekrarlanan ikamesi bir sürekli kesir verir:

${\displaystyle a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm {\frac {|n-a^{2}|}{2a\pm \cdots }}}}}}}$

ancak Bombelli daha çok ${\displaystyle r}$ için daha iyi yaklaşımlarla ilgilenmektedir. ${\displaystyle a}$ için seçilen değer, ${\displaystyle n}$ kareleri arasında kalan tam sayılardan biridir. Yöntem, ${\displaystyle {\sqrt {13}}\ }$ için aşağıdaki yakınsakları verirken, gerçek değer 3,605551275... :

${\displaystyle 3{\frac {2}{3}},\ 3{\frac {3}{5}},\ 3{\frac {20}{33}},\ 3{\frac {66}{109}},\ 3{\frac {109}{180}},\ 3{\frac {720}{1189}},\ \cdots }$

Son yakınsak 3,605550883... değerine eşittir. Bombelli'nin yöntemi, Heron ve Arşimet tarafından kullanılan formüller ve sonuçlarla karşılaştırılmalıdır. Arşimet'in ${\displaystyle \pi }$ değerini belirlerken kullandığı ${\displaystyle {\frac {265}{153}}<{\sqrt {3}}<{\frac {1351}{780}}}$ sonucu, ${\displaystyle r}$ 'nin başlangıç değerleri için 1 ve 0 kullanılarak bulunabilir.

• Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, 1972, Oxford University Press, New York, 0-19-501496-0
• David Eugene Smith, A Source Book in Mathematics, 1959, Dover Publications, New York, 0-486-64690-4
• Crossley, John N. (1987). The emergence of number. Singapore: World Scientific. doi:10.1142/0462. ISBN 978-9971-5-0413-7. 
• Daniel J. Curtin ve diğerleri. (1996), Rafael Bombelli's L'Algebra (PDF) KB1 bakım: Diğerlerinin yanlış kullanımı (link)

• L'Algebra, Libri I, II, III 
  • IV & V (PDF), orijinal İtalyanca metinler 
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Rafael Bombelli", MacTutor Matematik Tarihi arşivi 
• Rafael Bombelli