İki matrisin çarpılacağını varsayalım.
Matris çarpmanın genel tanımı A matrisinin i satırındaki ve B matrisinin j sütunundaki sayıların çarpımı (düz çizgiler) ile terimlerin (kesikli çizgiler) toplanması aritmetik işlemi son matrisdeki ij girişlerini verir.Eğer A , n × m boyutlu bir matris ve B , m × p boyutlu bir matris ise;
A = ( A 11 A 12 ⋯ A 1 m A 21 A 22 ⋯ A 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 A n 2 ⋯ A n m ) , B = ( B 11 B 12 ⋯ B 1 p B 21 B 22 ⋯ B 2 p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ B m 1 B m 2 ⋯ B m p ) {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1p}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{m1}&B_{m2}&\cdots &B_{mp}\\\end{pmatrix}}} AB matris çarpma (çarpım işaretsiz veya noktasız ifade edilir), n × p matrisi olarak ifade edilir.
A B = ( ( A B ) 11 ( A B ) 12 ⋯ ( A B ) 1 p ( A B ) 21 ( A B ) 22 ⋯ ( A B ) 2 p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ( A B ) n 1 ( A B ) n 2 ⋯ ( A B ) n p ) {\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}\left(\mathbf {AB} \right)_{11}&\left(\mathbf {AB} \right)_{12}&\cdots &\left(\mathbf {AB} \right)_{1p}\\\left(\mathbf {AB} \right)_{21}&\left(\mathbf {AB} \right)_{22}&\cdots &\left(\mathbf {AB} \right)_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\left(\mathbf {AB} \right)_{n1}&\left(\mathbf {AB} \right)_{n2}&\cdots &\left(\mathbf {AB} \right)_{np}\\\end{pmatrix}}} Burada her bir i, j girişi, Aik girişleri A matrisinin i satırı) ile Bkj girişleri (B matrisinin j sütunu) çarpımıdır. k = 1, 2, ..., m ve, k sonuçlar toplamı şöyle ifade edilir:
( A B ) i j = ∑ k = 1 m A i k B k j . {\displaystyle (\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ij}=\sum _{k=1}^{m}A_{ik}B_{kj}\,.} Girişler genellikle sayı veya ifadelerle belirtilir. Fakat matrislerin kendisi de bir giriş olabilir. (Blok matrise bakınız).
Şekilsel gösterim Sağdaki şekil, A ve B iki matrisinin çarpımını şematik olarak gösteriyor. Sonuçta elde edilen matris 4'e 3'lük X matrisi olsun.
[ a 11 a 12 ⋅ ⋅ a 31 a 32 ⋅ ⋅ ] 4 × 2 matris [ ⋅ b 12 b 13 ⋅ b 22 b 23 ] 2 × 3 matris = [ ⋅ x 12 x 13 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x 32 x 33 ⋅ ⋅ ⋅ ] 4 × 3 matris {\displaystyle {\overset {4\times 2{\text{ matris}}}{\begin{bmatrix}{\color {Brown}{a_{11}}}&{\color {Brown}{a_{12}}}\\\cdot &\cdot \\{\color {Orange}{a_{31}}}&{\color {Orange}{a_{32}}}\\\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}{\overset {2\times 3{\text{ matris}}}{\begin{bmatrix}\cdot &{\color {Plum}{b_{12}}}&{\color {Violet}{b_{13}}}\\\cdot &{\color {Plum}{b_{22}}}&{\color {Violet}{b_{23}}}\\\end{bmatrix}}}={\overset {4\times 3{\text{ matris}}}{\begin{bmatrix}\cdot &x_{12}&x_{13}\\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &x_{32}&x_{33}\\\cdot &\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}} Şekilde, çemberle işaretlenen hücrelerin değerleri şunlardır:
x 12 = a 11 b 12 + a 12 b 22 x 13 = a 11 b 13 + a 12 b 23 x 32 = a 31 b 12 + a 32 b 22 x 33 = a 31 b 13 + a 32 b 23 {\displaystyle {\begin{aligned}x_{12}&={\color {Brown}{a_{11}}}{\color {Plum}{b_{12}}}+{\color {Brown}{a_{12}}}{\color {Plum}{b_{22}}}\\x_{13}&={\color {Brown}{a_{11}}}{\color {Violet}{b_{13}}}+{\color {Brown}{a_{12}}}{\color {Violet}{b_{23}}}\\x_{32}&={\color {Orange}{a_{31}}}{\color {Plum}{b_{12}}}+{\color {Orange}{a_{32}}}{\color {Plum}{b_{22}}}\\x_{33}&={\color {Orange}{a_{31}}}{\color {Violet}{b_{13}}}+{\color {Orange}{a_{32}}}{\color {Violet}{b_{23}}}\end{aligned}}} Yukarıdakiler, X matrisinin belirlenen girişleridir.
Matris çarpmaya örnekler Satır vektör ve sütun vektör Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;
A = ( a b c ) , B = ( x y z ) , {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,,} Burada matris çarpma işlemi şöyle:
A B = ( a b c ) ( x y z ) = a x + b y + c z , {\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=ax+by+cz\,,} Benzer şekilde;
B A = ( x y z ) ( a b c ) = ( x a x b x c y a y b y c z a z b z c ) . {\displaystyle \mathbf {BA} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb&xc\\ya&yb&yc\\za&zb&zc\end{pmatrix}}\,.} AB ile BA nın çok farklı matrisler olduğuna dikkat edin. İlk matris 1 × 1 boyutlu matris iken, ikincisi 3 × 3 boyutlu matristir.
Kare matris ve sütun vektörüAşağıdaki gibi iki matris verilsin;
A = ( a b c p q r u v w ) , B = ( x y z ) , {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,,} Burada matris çarpma işlemi şöyle:
A B = ( a b c p q r u v w ) ( x y z ) = ( a x + b y + c z p x + q y + r z u x + v y + w z ) , {\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\px+qy+rz\\ux+vy+wz\end{pmatrix}}\,,} Bu örnekte BA tanımlı değildir.
Bir kare matrisi, sütun matrisi ile çarpma, doğrusal denklemleri çözme ve doğrusal dönüşümleri ifade etmek için sıkça kullanılır.
Kare matrisler Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;
A = ( a b c p q r u v w ) , B = ( α β γ λ μ ν ρ σ τ ) , {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}\,,} Burada matris çarpma işlemi şöyledir:
A B = ( a b c p q r u v w ) ( α β γ λ μ ν ρ σ τ ) = ( a α + b λ + c ρ a β + b μ + c σ a γ + b ν + c τ p α + q λ + r ρ p β + q μ + r σ p γ + q ν + r τ u α + v λ + w ρ u β + v μ + w σ u γ + v ν + w τ ) , {\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\alpha +b\lambda +c\rho &a\beta +b\mu +c\sigma &a\gamma +b\nu +c\tau \\p\alpha +q\lambda +r\rho &p\beta +q\mu +r\sigma &p\gamma +q\nu +r\tau \\u\alpha +v\lambda +w\rho &u\beta +v\mu +w\sigma &u\gamma +v\nu +w\tau \end{pmatrix}}\,,} Benzer şekilde;
B A = ( α β γ λ μ ν ρ σ τ ) ( a b c p q r u v w ) = ( α a + β p + γ u α b + β q + γ v α c + β r + γ w λ a + μ p + ν u λ b + μ q + ν v λ c + μ r + ν w ρ a + σ p + τ u ρ b + σ q + τ v ρ c + σ r + τ w ) . {\displaystyle \mathbf {BA} ={\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\p&q&r\\u&v&w\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha a+\beta p+\gamma u&\alpha b+\beta q+\gamma v&\alpha c+\beta r+\gamma w\\\lambda a+\mu p+\nu u&\lambda b+\mu q+\nu v&\lambda c+\mu r+\nu w\\\rho a+\sigma p+\tau u&\rho b+\sigma q+\tau v&\rho c+\sigma r+\tau w\end{pmatrix}}\,.} Bu durumda hem AB hem de BA matrisi tanımlıdır. Fakat AB ile BA matrisinin girişleri çoğunlukla eşit değildir.
Satır vektör, kare matris ve sütun vektör Aşağıdaki gibi üç matris verilsin;
A = ( a b c ) , B = ( α β γ λ μ ν ρ σ τ ) , C = ( x y z ) , {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,,} Burada matris çarpma işlemi şöyledir:
A B C = ( a b c ) [ ( α β γ λ μ ν ρ σ τ ) ( x y z ) ] = [ ( a b c ) ( α β γ λ μ ν ρ σ τ ) ] ( x y z ) = ( a b c ) ( α x + β y + γ z λ x + μ y + ν z ρ x + σ y + τ z ) = ( a α + b λ + c ρ a β + b μ + c σ a γ + b ν + c τ ) ( x y z ) = a α x + b λ x + c ρ x + a β y + b μ y + c σ y + a γ z + b ν z + c τ z , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {ABC} &={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}\left[{\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\right]=\left[{\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\lambda &\mu &\nu \\\rho &\sigma &\tau \\\end{pmatrix}}\right]{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha x+\beta y+\gamma z\\\lambda x+\mu y+\nu z\\\rho x+\sigma y+\tau z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\alpha +b\lambda +c\rho &a\beta +b\mu +c\sigma &a\gamma +b\nu +c\tau \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\\&=a\alpha x+b\lambda x+c\rho x+a\beta y+b\mu y+c\sigma y+a\gamma z+b\nu z+c\tau z\,,\end{aligned}}} Bu durumda CBA tanımlı değildir. A (BC ) = (AB )C olduğuna dikkat edin. Bu çok genel özelliklerden biridir.
Dikdörtgen matris Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;
A = ( a b c x y z ) , B = ( α ρ β σ γ τ ) , {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\x&y&z\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}\alpha &\rho \\\beta &\sigma \\\gamma &\tau \\\end{pmatrix}}\,,} Burada matris çarpma işlemi şöyledir:
A B = ( a b c x y z ) ( α ρ β σ γ τ ) = ( a α + b β + c γ a ρ + b σ + c τ x α + y β + z γ x ρ + y σ + z τ ) , {\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\x&y&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha &\rho \\\beta &\sigma \\\gamma &\tau \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\alpha +b\beta +c\gamma &a\rho +b\sigma +c\tau \\x\alpha +y\beta +z\gamma &x\rho +y\sigma +z\tau \\\end{pmatrix}}\,,} Benzer şekilde;
B A = ( α ρ β σ γ τ ) ( a b c x y z ) = ( α a + ρ x α b + ρ y α c + ρ z β a + σ x β b + σ y β c + σ z γ a + τ x γ b + τ y γ c + τ z ) . {\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\alpha &\rho \\\beta &\sigma \\\gamma &\tau \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\x&y&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha a+\rho x&\alpha b+\rho y&\alpha c+\rho z\\\beta a+\sigma x&\beta b+\sigma y&\beta c+\sigma z\\\gamma a+\tau x&\gamma b+\tau y&\gamma c+\tau z\end{pmatrix}}\,.}
Matris çarpmanın özellikleri
Tüm matrisler 1. Değişme özelliği yoktur:
Genellikle:
A B ≠ B A {\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} \neq \mathbf {B} \mathbf {A} } Çünkü AB ile BA , eşzamanlı olarak tanımlanamazlar. Tanımlansalar bile eşit olamazlar. Bu, sayıların çarpılmasına terstir. Matris çarpımını büyüklüğünü kelimelerle ifade etmek için; A nın B ile "ön çarpımı (veya sol çarpımı)" BA olurken, "A nın C ile son çarpımı (veya sağ çarpımı) " AC olur. Matrisin tüm girişleri bir birime sahip halkada bulunduğu ve n > 1 olduğu müddetçe, halkada bir çift n × n değiştirilemez matris olur. Buna tek istisna birim matris (veya herhangi bir skaler çarpımı)dır.
Dizi gösterimi:
∑ k A i k B k j ≠ ∑ k B i k A k j {\displaystyle \sum _{k}A_{ik}B_{kj}\neq \sum _{k}B_{ik}A_{kj}} 2. Matrisin toplama üzerine dağılma özelliği vardır:
Sol dağılım:
A ( B + C ) = A B + A C {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {AB} +\mathbf {AC} } Sağ dağılım:
( A + B ) C = A C + B C {\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {C} =\mathbf {AC} +\mathbf {BC} } Dizi gösteriminde sırasıyla bunlar:
∑ k A i k ( B k j + C k j ) = ∑ k A i k B k j + ∑ k A i k C k j {\displaystyle \sum _{k}A_{ik}(B_{kj}+C_{kj})=\sum _{k}A_{ik}B_{kj}+\sum _{k}A_{ik}C_{kj}} ∑ k ( A i k + B i k ) C k j = ∑ k A i k C k j + ∑ k B i k C k j {\displaystyle \sum _{k}(A_{ik}+B_{ik})C_{kj}=\sum _{k}A_{ik}C_{kj}+\sum _{k}B_{ik}C_{kj}} 3. Skaler çarpma , matris çarpımı ile uyumludur:
λ ( A B ) = ( λ A ) B {\displaystyle \lambda (\mathbf {AB} )=(\lambda \mathbf {A} )\mathbf {B} } and ( A B ) λ = A ( B λ ) {\displaystyle (\mathbf {A} \mathbf {B} )\lambda =\mathbf {A} (\mathbf {B} \lambda )} Burada λ bir skalerdir . Eğer matrisin tüm girişleri reel veya karmaşık sayı ise, tüm dört miktarda eşit olur. Daha genel bir ifade ile, eğer λ matrisin girişlerinin halkasının merkezinde ise, tüm dördü de eşit olur. Çünkü bu durumda, tüm X matrisleri için, λ X = X λ olur. Dizin gösterimi sırasıyla şöyle olur:
λ ∑ k ( A i k B k j ) = ∑ k ( λ A i k ) B k j = ∑ k A i k ( λ B k j ) {\displaystyle \lambda \sum _{k}(A_{ik}B_{kj})=\sum _{k}(\lambda A_{ik})B_{kj}=\sum _{k}A_{ik}(\lambda B_{kj})} ∑ k ( A i k B k j ) λ = ∑ k ( A i k λ ) B k j = ∑ k A i k ( B k j λ ) {\displaystyle \sum _{k}(A_{ik}B_{kj})\lambda =\sum _{k}(A_{ik}\lambda )B_{kj}=\sum _{k}A_{ik}(B_{kj}\lambda )} 4. Transpoze :
( A B ) T = B T A T {\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }} Burada T , transpozeyi ifade eder.
Dizi gösteriminde:
[ ( A B ) T ] i j = ( A B ) j i = ∑ k ( A ) j k ( B ) k i = ∑ k ( A T ) k j ( B T ) i k = ∑ k ( B T ) i k ( A T ) k j = [ ( B T ) ( A T ) ] i j {\displaystyle {\begin{aligned}\left[(\mathbf {AB} )^{\mathrm {T} }\right]_{ij}&=\left(\mathbf {AB} \right)_{ji}\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {A} \right)_{jk}\left(\mathbf {B} \right)_{ki}\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)_{kj}\left(\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\right)_{ik}\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\right)_{ik}\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)_{kj}\\&=\left[\left(\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\right)\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right)\right]_{ij}\end{aligned}}} 5. Karmaşık eşlenik: Eğer A ve B karmaşık girişlerden oluşuyorsa, bu durumda;
( A B ) ⋆ = A ⋆ B ⋆ {\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\star }=\mathbf {A} ^{\star }\mathbf {B} ^{\star }} olur. Burada * , bir matrisin karmaşık eşleniğini ifade eder.
Dizi gösteriminde:
[ ( A B ) ⋆ ] i j = [ ∑ k ( A ) i k ( B ) k j ] ⋆ = ∑ k ( A ) i k ⋆ ( B ) k j ⋆ = ∑ k ( A ⋆ ) i k ( B ⋆ ) k j = ( A ⋆ B ⋆ ) i j {\displaystyle {\begin{aligned}\left[(\mathbf {AB} )^{\star }\right]_{ij}&=\left[\sum _{k}\left(\mathbf {A} \right)_{ik}\left(\mathbf {B} \right)_{kj}\right]^{\star }\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {A} \right)_{ik}^{\star }\left(\mathbf {B} \right)_{kj}^{\star }\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {A} ^{\star }\right)_{ik}\left(\mathbf {B} ^{\star }\right)_{kj}\\&=\left(\mathbf {A} ^{\star }\mathbf {B} ^{\star }\right)_{ij}\end{aligned}}} 6. Eşlenik transpozesi:
Eğer A ve B karmaşık girişlerden oluşuyorsa, bu durumda;
( A B ) † = B † A † {\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\dagger }=\mathbf {B} ^{\dagger }\mathbf {A} ^{\dagger }} Burada † , bir matrisin karmaşık transpozesini ifade eder.
Dizi gösteriminde:
[ ( A B ) † ] i j = [ ( A B ) ⋆ ] j i = ∑ k ( A ⋆ ) j k ( B ⋆ ) k i = ∑ k ( A † ) k j ( B † ) i k = ∑ k ( B † ) i k ( A † ) k j = [ ( A † ) ( B † ) ] i j {\displaystyle {\begin{aligned}\left[(\mathbf {AB} )^{\dagger }\right]_{ij}&=\left[\left(\mathbf {AB} \right)^{\star }\right]_{ji}\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {A} ^{\star }\right)_{jk}\left(\mathbf {B} ^{\star }\right)_{ki}\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {A} ^{\dagger }\right)_{kj}\left(\mathbf {B} ^{\dagger }\right)_{ik}\\&=\sum _{k}\left(\mathbf {B} ^{\dagger }\right)_{ik}\left(\mathbf {A} ^{\dagger }\right)_{kj}\\&=\left[\left(\mathbf {A} ^{\dagger }\right)\left(\mathbf {B} ^{\dagger }\right)\right]_{ij}\end{aligned}}} 7. İlkköşegen toplamı :AB çarpımının ilkköşegen toplamı A ve B matrislerinin büyüklüğünden bağımsızdır:
t r ( A B ) = t r ( B A ) {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {AB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )} Dizi gösteriminde:
t r ( A B ) = ∑ i ∑ k A i k B k i = ∑ k ∑ i B k i A i k = t r ( B A ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {tr} (\mathbf {AB} )&=\sum _{i}\sum _{k}A_{ik}B_{ki}\\&=\sum _{k}\sum _{i}B_{ki}A_{ik}\\&=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )\end{aligned}}}
Yalnızca kare matrisler 1. Birim matris :
Eğer A bir kare matris ise, bu durumda
A I = I A = A {\displaystyle \mathbf {AI} =\mathbf {IA} =\mathbf {A} } Burada I , aynı boyuta sahip birim matristir.
2. Tersinir matris :
Eğer A bir kare matris ise, A −1 terslenebilir matrisi şöyle olur;
A A − 1 = A − 1 A = I {\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {I} } Bu durumda aşağıdaki eşitlik sağlanır;
( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 {\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\mathrm {-1} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {-1} }\mathbf {A} ^{\mathrm {-1} }} 3. Determinant :AB çarpımının determinantı, A matrisinin determinantı ile B matrisinin determinantının çarpımına eşittir.
det ( A B ) = det ( A ) det ( B ) {\displaystyle \det(\mathbf {AB} )=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {B} )} det(A ) ve det(B ) yalnızca sayıdır. Bu yüzden, AB ≠ BA olsa bile det(AB ) = det(BA ) olur.