z : R n × R n → R {\displaystyle z:{{\mathbb {R} }^{n}}\times {{\mathbb {R} }^{n}}\to \mathbb {R} }
z = f ( x 1 , x 2 , . . . , x m , . . . , x n ) {\displaystyle z=f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}
biçiminde tanımlanan n tane bağımsız değişkene bağlı sürekli z fonksiyonunun diğer değişkenler sabit tutularak herhangi bir değişkendeki Δ x m {\displaystyle \Delta {{x}_{m}}}
Δ z Δ x m = f ( x 1 , x 2 , . . . , x m + Δ x m , . . . , x n ) − f ( x 1 , x 2 , . . . , x m , . . . , x n ) Δ x m {\displaystyle {\frac {\Delta z}{\Delta {{x}_{m}}}}={\frac {f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+\Delta {{x}_{m}},...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{\Delta {{x}_{m}}}}}
Δ x m = h {\displaystyle \Delta {{x}_{m}}=h}
∂ z ∂ x m = lim h → 0 f ( x 1 , x 2 , . . . , x m + h , . . . , x n ) − f ( x 1 , x 2 , . . . , x m , . . . , x n ) h {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial {{x}_{m}}}}={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}+h,...,{{x}_{n}})-f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}},...,{{x}_{n}})}{h}}}
ifadesine z {\displaystyle z} x m {\displaystyle {{x}_{m}}}
∂ f ∂ x m = f x m = D x m f = ∂ z ∂ x m = z x m {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {{x}_{m}}}}={{f}_{{x}_{m}}}={{D}_{{x}_{m}}}f={\frac {\partial z}{\partial {{x}_{m}}}}={{z}_{{x}_{m}}}}
şeklinde gösterilir.
z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f\left(x,y\right)}
f x ( x , y ) = lim h → 0 f ( x + h , y ) − f ( x , y ) h {\displaystyle {{f}_{x}}\left(x,y\right)={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {f\left(x+h,y\right)-f\left(x,y\right)}{h}}}
f y ( x , y ) = lim h → 0 f ( x , y + h ) − f ( x , y ) h {\displaystyle {{f}_{y}}\left(x,y\right)={\underset {h\to 0}{\mathop {\lim } }}\,{\frac {f\left(x,y+h\right)-f\left(x,y\right)}{h}}}
Örnek:
f ( x , y ) = x 3 + x 2 y − y 3 f x = ( x 3 ) x + ( x 2 y ) x − ( y 3 ) x f x = 3 x 2 + 2 x y − 0 f x = 3 x 2 + 2 x y {\displaystyle {\begin{aligned}&f(x,y)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}{y}-{{y}^{3}}\\&{{f}_{x}}={{\left({{x}^{3}}\right)}_{x}}+{{\left({{x}^{2}}y\right)}_{x}}-{{\left({{y}^{3}}\right)}_{x}}\\&{{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy-0\\&{{f}_{x}}=3{{x}^{2}}+2xy\\\end{aligned}}}
