Euler karakteristiği

Euler özelliği ${\displaystyle \chi }$ formülüne göre klasik olarak çokyüzlülerin yüzeyleri için tanımlanmıştır.

${\displaystyle \chi =V-E+F}$

burada V, E ve F sırasıyla verilen çokyüzlüdeki köşelerin, kenarların ve yüzlerin sayısıdır. Herhangi bir dışbükey çokyüzlünün yüzeyi Euler karakteristiğine sahiptir.

${\displaystyle V-E+F=2.}$

Leonhard Euler tarafından 1758 yılında ifade edilen bu denklem ^[2] Euler'in polihedron formülü olarak da bilinir.^[3] Kürenin Euler karakteristiğine karşılık gelir (yani χ = 2) ve aynı şekilde küresel çokyüzlüler için de geçerlidir. Tüm Platonik çokyüzlülerdeki formülün örnekleri aşağıda verilmiştir.

İsim	resim	köşeler v	Kenarlar e	Yüzler F	Euler karakteristiği: V − E + F
Dörtyüzlü		4	6	4	2
Altı yüzlü veya küp		8	12	6	2
Oktahedron		6	12	8	2
Dodekahedron		20	30	12	2
İkosahedron		12	30	20	2

Dışbükey olmayan çokyüzlülerin yüzeyleri çeşitli Euler özelliklerine sahip olabilir:

İsim	resim	köşeler V	Kenarlar E	Yüzler F	Euler karakteristiği: V − E + F
Tetrahemiheksahedron		6	12	7	1
oktahemioktahedron		12	24	12	0
Cubohemioctahedron		12	24	10	− 2
Küçük yıldız şeklindeki dodecahedron		12	30	12	− 6
Büyük yıldız şeklinde dodecahedron		20	30	12	2

Düzenli çokyüzlüler için Arthur Cayley, yoğunluk D, tepe şekli yoğunluğu d _v ve yüz yoğunluğunu kullanarak Euler formülünün değiştirilmiş bir biçimini türetmiştir. ${\displaystyle d_{f}}$  :

${\displaystyle d_{v}V-E+d_{f}F=2D.}$

Bu sürüm hem dışbükey çokyüzlüler hem de dışbükey olmayan Kepler-Poinsot çokyüzlüler için geçerlidir.

Projektif çokyüzlülerin tümü, gerçek yansıtmalı düzlem gibi Euler karakteristiği 1'e sahipken, simit gibi toroidal çokyüzlülerin tüm yüzeyleri Euler karakteristiği 0'a sahiptir.

• Eric W. Weisstein, Euler characteristic (MathWorld)
• Eric W. Weisstein, Polyhedral formula (MathWorld)
• An animated version of a proof of Euler's formula using spherical geometry 3 Nisan 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..