Diferansiyel geometri
Diferansiyel geometri türevin tanımlı olduğu Riemann manifoldlarının özellikleriyle uğraşan matematiğin bir alt disiplinidir.[1] Başka bir deyişle, bu manifoldlar üzerindeki metrik kavramlarla uğraşır.[2] Eğrilik, eğriler için burulma ve yüzeyler için değişik eğrilikler, araştırılan özellikler arasındadır.
Diferansiyel geometri, geometrik problemler üzerinde diferansiyel metotlar ve integral hesaplamalarla çalışan matematiksel bir disiplindir.[3] Bundan başka lineer cebir ve çoklu doğrusal cebirdeki, sorunları incelemek için geometride de kullanılır.
Uygulamalar
Aşağıda diferansiyel geometrinin, bilim ve matematiğin diğer alanlarında nasıl kullanıldığı hakkında bazı örnekler vardır.
- Fizikte, dört kullanımından söz edilecektir: :
Diferansiyel geometri Einstein'ın Genel görelilik teorisinin ifade edildiği dildir. Teoriye göre evren, uzay-zaman eğriliğini açıklayan pseudo-Riemann metriği ile donatılmış, düzgün bir manifolddur. Dünya etrafında yörüngeye uydu konumlandırmak için bu bükülmeyi anlamak esastır. Diferansiyel geometri, kütleçekimsel merceklenme ve kara deliklerin çalışmasını açıklamak içinde vazgeçilmezdir.Diferansiyel formlar: Diferansiyel formların anlaşılmasında kullanılmıştır; Diferansiyel geometrinin hem Lagrange mekaniği ve hem de Hamilton mekaniğinde uygulamaları vardır. Özellikle Simplektik manifoldlar, Hamilton sistemlerini incelemek için kullanılabilir.
- Riemann geometrisi ve temas geometrisi: geometrotermodinamikler formalizmini oluşturmak için kullanılan klasik termodinamik denge uygulamaları için bulunmuştur.
- Ekonomide, diferansiyel geometrinin ekonometri alanında uygulamaları vardır.[4]
- Diferansiyel geometriden gelen fikirler arasında geometrik modelleme (bilgisayar grafikleri dahil) ve Bilgisayar destekli geometrik tasarım da bulunur.
- Mühendislikte, Dijital sinyal işleme sorunlarını çözmek için diferansiyel geometri uygulanabilir.[5]
- Olasılık, istatistik ve bilgi kuramı olarak, özellikle Fisher bilgi metriği üzerinden bilgi geometri alanını verir ki, Riemann manifoldları gibi çeşitli yapıları yorumlayabilir.
- Yapısal jeoloji, diferansiyel geometri jeolojik yapılarını analiz etmek ve tanımlamak için kullanılır.
Bilgisayarla görme, diferansiyel geometrik şekilleri analiz etmek için kullanılır.[6]
- Görüntü işlemede, düz olmayan yüzeylerde veri işlemek ve analiz etmek için diferansiyel geometri kullanılır.[7]
- Grigori Perelmanin Poincaré varsayımına kanıtı topolojideki sorulara Ricci akımlarının tekniklerini kullanarak diferansiyel geometrik yaklaşımın gücünü gösterdi ve onun analitik yöntemlerde oynadığı önemli role dikkat çekti.
- Kablosuz iletişimde, grassmanniyen manifoldlar çoklu anten sistemlerinde demetleme teknikleri için kullanılmaktadır.[8]
Ayrıca bakınız
Kaynakça
Konuyla ilgili yayınlar
- Wolfgang Kühnel (2002). Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds (2nd ed. bas.). ISBN 0-8218-3988-8.
- Theodore Frankel (2004). The geometry of physics: an introduction (2nd ed. bas.). ISBN 0-521-53927-7.
- Spivak, Michael (1999). A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (5 Volumes) (3rd Edition bas.).
- do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. ISBN 0-13-212589-7. Classical geometric approach to differential geometry without tensor analysis.
- Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. ISBN 0-486-66721-9. Good classical geometric approach to differential geometry with tensor machinery.
- do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry.
- McCleary, John (1994). Geometry from a Differentiable Viewpoint.
- Bloch, Ethan D. (1996). A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry.
- Gray, Alfred (1998). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (2nd ed. bas.).
- Burke, William L. (1985). Applied Differential Geometry.
- ter Haar Romeny, Bart M. (2003). Front-End Vision and Multi-Scale Image Analysis. ISBN 1-4020-1507-0.
Dış bağlantılar
- Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Differential geometry", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
- B. Conrad. Differential Geometry handouts, Stanford University 9 Ekim 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- Michael Murray's online differential geometry course, 1996 1 Ağustos 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- A Modern Course on Curves and Surface, Richard S Palais, 20039 Nisan 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery9 Nisan 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- Balázs Csikós's Notes on Differential Geometry5 Haziran 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- N. J. Hicks, Notes on Differential Geometry, Van Nostrand.26 Mart 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
- MIT OpenCourseWare: Differential Geometry, Fall 2008 2 Mayıs 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Şablon:Mathematics-footer