Hangganan (kalkulo)
Ang hangganan(limit) ng isang punsiyon ay isang pangunahing konsepto sa kalkulo at matematikal na analisis tungkol sa pag-aasal ng isang punsiyon kung ito ay malapit sa ibinigay na input.
Depinisyon
Simpleng depinisyon
Ang isang punsiyong f ay nagtatalaga ng isang output f(x) sa bawat input x. Ang punsiyon ay may hangganan(limit) na L sa isang input na c kung ang output ng f(x) ay "malapit" sa L habang ang input na x ay "malapit" sa c. Samakatuwid, ang output ng f(x) ay papalapit ng papalapit sa L habang ang x ay papalapit ng papalapit sa c. Ang f(x) ay maaaring gawing malapit sa halaga ng L kung ang input na x ay gagawing malapit sa halaga ng c ngunit hindi eksakstong c. Ang karaniwang notasyon ng hangganan ay:
Ito ay binabasa bilang "ang hangganan(limit) ng ng
habang ang
ay papalapit sa
". Halimbawa, ang punsiyon na titignan natin ay
at interasado tayong malaman ang hangganan(limit) ng punsiyong ito habang ang
ay papalapit sa
. Ang isang paraan para malaman ang hangganan(limit) ay ang pagpili ng mga halagang malapit sa 2 at kwentahin ang bawat napiling mga halaga sa punsiyong
. Makita sa sumusunod na tabla ang mga output ng punsiyon sa bawat ibinigay na input:
1.7 | 1.8 | 1.9 | 1.95 | 1.99 | 1.999 | |
2.89 | 3.24 | 3.61 | 3.8025 | 3.9601 | 3.996001 |
Sa susunod na tabla, atin namang kukwentahin ang mga input na mas malaki sa 2:
2.3 | 2.2 | 2.1 | 2.05 | 2.01 | 2.001 | |
5.29 | 4.84 | 4.41 | 4.2025 | 4.0401 | 4.004001 |
Ating makikita mula sa mga tabla sa itaas na kung ang ay papalapit ng papalapit sa 2, ang output ng
ay papalapit ng papalapit sa 4 kahit hindi natin isasaalang alang kung ang
ay papalaki o papaliit sa halaga ng 2. Sa dahilang ito, magiging sigurado tayo na ang hangganan ng
habang ang
ay papalapit sa 2 ay 4 o ayon sa notasyon ng hangganan, "ang
ay may hanganan(limit) na 4 habang ang input ay papalapit sa 2".
Pormal na depinisyon
Itakda ang bilang isang punsiyon na inilalarawan sa bukas na interbal na
na naglalaman ng
, maliban sa
. Itakda ang
bilang isang bilang. Ating masasabi na:
kung sa bawat , may umiiral na
na sa bawat
ay:
ang x ay hindi katumbas ng c
meron tayong:
.
Ang letrang ε(epsilon) ay maaaring maunawaan na "kamalian"(error) ng halaga ng punsiyon(f(x)) sa hangganan(L) at ang δ(delta) ang "distansiya" ng x sa a. Ang ε ay mapapaliit kung ang δ ay mapapaliit. Kung pipili tayo ng ε, makakahanap tayo ng δ na sa bawat ε, merong δ kung saan ang distansiya ng f(x) at L ay mas maliit sa ε: kung ang distansiya ng x sa c ay mas maliit sa δ:
Halimbawa, ang hangganan ng punsiyong habang ang
ay papalapit sa 4 ay 11 o sa notasyong hangganan ay:
Upang patunayan na ang hangganan ay talaga ngang 11, kailangan nating patunayan na kahit ano ang halaga ng na ibinigay, makakahanap tayo ng halaga ng
kung saan ang:
sa tuwing ang:
Kung itatakda ang , kailangang patunayan na ang:
Ngayon, itumbas ang δ sa ε:
.
Ang resulta ay
Pansinin na ang ay naging katumbas ng
:
na siya nating nais patunayan.
Kontinuidad
Ang isang punsiyon na ƒ ay sinasabing tuloy tuloy(continuous) sa c kung ito ay inilalarawan sa c at ang halaga sa c ay katumbas ng hangganan ng f habang ang x ay papalapit sa c:
Kung ang kondisyong 0 < |x − c| ay inalis sa depinisyon ng hangganan, ang resultang depinisyon ay katumbas ng pag-aatas na ang f ay maging tuloy tuloy sa c.
Kung ang punsiyong f ay may halagang real, ang hangganan ng f sa p ay L kung at tanging kung ang parehong kanang hangganan at kaliwang hangganan ng f at p ay umiiral at katumbas ng L.
Ang punsiyong f ay tuloy tuloy sa p kung at tanging kung ang hangganan ng f f(x) sa x habang papalapit sa p ay umiiral at katumbas ng f(p). Kung ang f : M → N ay isang punsiyon sa pagitan ng mga metrikong espasyo na M at N, kung gayon, ito ay katumbas na f ay binabago ang bawat sekwensiya(sequence) sa M na nagtatagpo(converges) patungo sa p sa sekwensiya sa N na nagtatagopo patungo sa f(p).
Kung ang N ay isang espasyong bektor na normado(normed vector space), ang operasyong hangganan ay linyar sa pagkaunawang: kung ang hangganang f(x) habang ang x ay papalapit sa p ay L at ang hangganan ng g(x) habang ang x ay papalapit sa p ay P, kung gayon ang hangganan ng f(x) + g(x) habang ang x ay papalapit sa p ay L + P. Kung ang a ay skalar sa baseng field, kung gayon ang hangganan ng af(x) habang ang x ay papalapit sa p ay aL.
Kung ang f ay isang punsiyon na may halagang real o kompleks, ang pagkuha ng hangganan at umaayon sa mga operasyong alhebraiko, kung ang mga hangganan sa kanang bahagi ng ekwasyon ay umiiral. Ang tawag dito ay Alhebraikong teorema ng hangganan. Ang mga patakaran ng teoremang ito ay ang sumusunod:
Sa bawat kaso sa itaas, kung ang hangganan sa kanan ay hindi umiiral o sa huling kaso, ang hangganan sa parehong numerador at denominador ay sero, gayunpaman ang hangganan sa kaliwa na tinatawag na anyong hindi matukoy(indeterminate form) ay maaari pa ring umiral. Ito ay depende sa mga punsiyong f at g. Ang mga patakarang ito ay balido sa isang gilid na mga hangganan sa kaso ng p = ±∞, gayundin sa inpinadong hangganan(infinite limit) gamit ang sumusunod na mga patakaran:
- q + ∞ = ∞ for q ≠ −∞
- q × ∞ = ∞ if q > 0
- q × ∞ = −∞ if q < 0
- q / ∞ = 0 if q ≠ ± ∞
Walang pangakalahatang patakaran sa kaso ng q / 0; ito ay depende sa kung paano ang 0 ay nilalapitan. Ang mga hindi matukoy na anyo gaya ng 0/0, 0×∞, ∞−∞, and ∞/∞—are ay hindi sakop ng mga patakarang ito, ngunit ang mga katumbas na hangganan ay matutukoy gamit ang Patakarang L'Hôpital o ang Teorema ng piga.
Diskontinuidad
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9d/Discontinuity_removable.eps.png/220px-Discontinuity_removable.eps.png)
Ang diskontinuidad(discontinuity) ay punto kung saan ang isang punsiyon ay hindi tuloy tuloy(continuity). Maraming mga instansiya na ito ay maaaring mangyari. Halimbawa, ang punsiyong ay hindi tuloy tuloy sa
dahil kung ilalapat ang hangganan sa puntong ito, ang praksiyon ay magreresulta sa
na sa matematika ay hindi matutukoy(undefined). Gayunpaman, ang isang diskontinuidad ay maaalis dahil kung babaguhin ang punsiyon sa puntong ito, maaari nating alisin ang diskontinuidad at gawin ang punsiyon na tuloy tuloy. Upang gawing tuloy tuloy ito, kailangang pasimplehin ang
upang magresulta ng
. Maaari na tayong maglarawan ng bagong punsiyon na
kung saan ang
. Ang punsiyong ito ay hindi pareho sa orihinal na punsiyong
dahil maaaring tukuyin ang
sa
. Ang
ay tuloy tuloy sa
dahil ang
. Gayunpaman, sa tuwing ang
,
; ang ating ginawa sa
upang magresulta ng
ay gawin itong matutukoy sa halagang
.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Discontinuity_jump.eps.png/220px-Discontinuity_jump.eps.png)
Hindi lahat ng diskontinuidad ay maaaring alisin sa isang punsiyon. Halimbawa ang punsiyon na:
Dahil ang ay hindi umiiral, walang paraan na maaaring muling tukuyin ang
sa isang punto upang ito'y maging tuloy tuloy sa 0. Ang parehong isang gilid na mga hangganan ay umiiral:
at
ngunit ang dalawang ito ay hindi magkatumbas kaya ang talangguhit ay tumatalon mula sa isang gilid ng 0 hanggang sa kabila. Sa kasong ito, ang punsiyon ay may "tumatalong diskontinuidad"(jump discontinuity). Ang tumatalong diskontinuidad ay isang uri ng diskontinuidad na hindi maaalis.
Paghahanap ng hangganan
Kung ang isang punsiyon ay naglalarawan ng rasyonal, trigonometriko, logaritmiko at eksponensiyal na mga punsiyon at ang bilang na ay nasa sakop ng punsiyon, kung gayon ang hangganan sa
ay hanganan sa halaga ng punsiyon sa
. Kung ang
ay wala sa sakop ng punsiyon, kung gayon sa maraming instansiya(gaya ng sa rasyonal na punsiyon), ang sakop ng punsiyon ay kinabibilangan ng lahat ng punto na malapit sa
ngunit hindi mismong sa
. Ang isang halimbawa ay kung nais nating hanapin ang
, kung saan ang sakop ay kinabibilangan ng lahat ng mga bilang maliban sa sero. Sa instansiyang ito, upang mahanap ang
kailangan nating maghanap ng punsiyon na
na katulad ng
maliban sa butas(hole) sa
. Ang mga hangganan ng
at
ay pareho gaya ng makikita sa depinisyon ng hangganan. Sa depinisyon ito, ang hangganan ay depende sa
lamang sa mga punto kung ang
ay malapit sa
ngunit hindi katumbas nito, kaya ang hangganan sa
ay hindi dumidepende sa halaga ng punsiyon sa
. Samakatuwid, kung ang
,
. At dahil sa ang sakop ng ating bagong punsiyon ay kinabibilangan ng
, maaari na natin ilapat ang hangganan sa
(kung ipagpalagay nating ang punsiyon ay naglalarawan pa rin sa rasyonal, trigonometriko, logaritmiko, at eksponensiyal na mga punsiyon). Ang resulta ay
. Sa ating halimbawa, ang pagkakansela ng
sa numerador at denominador ay nagreresulta sa
na katumbas ng
sa lahat ng mga punto maliban sa sero. Ang hangganan ay
. Sa pangkalahatan, kung kukwentahin ang mga hangganan ng mga rasyonal na punsiyon, ang isang mabuting ideya ay maghanap ng mga karaniwang mga paktor sa numerador at denominador.
Merong intansiya na ang hanggangan ay hindi umiiral:
- May pagitan: Kung may pagitan(hindi lamang sa isang punto) kung saan ang punsiyon ay hindi matutukoy. Halimbawa, sa punsiyong
, ang
ay hindi umiiral kung ang
. Walang paraan na malalapitan ang gitna ng grapo. Upang ang hangganan ay umiral, ang punto ay dapat malalapitan mula sa kaliwa at kanang gilid.
- Tumatalon: Kung ang grapo(talangguhit) ay biglang tumatalon sa ibang antas, ang hangganan ay hindi umiiral sa puntong ito ng pagtalon. Halimbawa, kung itatakda ang
na maging pinakamalaking intedyer na
. Kung gayon, kung ang
ay isang intedyer kung ang
ay papalapit sa
mula sa kanan
, habang ang
ang
ay papalapit mula
. Sa gayon, ang
ay hindi iiral.
- Bertikal na asymptote: Kung ang grapo ay nagiging sobrang taas habang papalapit sa sero gaya ng sa punsiyong
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7d/Rapid_Oscillation.svg/200px-Rapid_Oscillation.svg.png)
- Walang hangganang osilasyon(pag urong sulong). Kung ang grapo ay patuloy na tumataas sa taas at babagsak sa ilalim ng linyang horisontal. Sa ibang salita, ang grapo ay nag-aasal ng ganito ng walang hanggan kung ito ay papalapit sa isang halaga ng
. Gayunpaman, kung ang taas ng bawat osilasyon ay papaliit habang ang grapo ay papalapit sa isang partikular na halaga ng
, maaaring ito ay may hangganan. Ang halimbawa nito ay ang punsiyong trigonometriko na
. Habang ang
ay papalapit sa 0, ang punsiyon ay patuloy na nagpapaurong sulong sa pagitan ng
at 1. Ang katunayan, ang
ay nagpapaurong sulong sa walang hanggang bilang sa interbal ng 0 at anumang positibong halaga ng
. Ang punsiyong sine ay katumbas ng sero sa tuwing ang
kung saan ang
ay isang positibong intedyer. Sa pagitan ng bawat dalawang intedyer na
, ang
ay nagpapaurong sulong sa pagitan ng 0 at
o 0 at 1. Samakatuwid, ang
sa bawat
. Sa bawat magkasunod na mga pares ng halagang
at
, ang
ay nagpapaurong sulong mula sa 0 patungo sa
o mula 1 pabalik sa 0. Maaaring mapansin na mayroong walang hanggang bilang ng mga pares na ito at ito'y nasa pagitan ng 0 at
. Merong may hangganang bilang ng mga gayong pares sa pagitan ng positibong halaga ng
at
kaya may walang hangganang bilang sa pagitan ng anumang positibong halaga ng
at 0. Sa ating pangangatwiran, maaari nating mahinuha na habang ang
ay papalapit sa 0 mula sa kanan, ang punsiyong
ay hindi papalapit sa anumang spesipikong halaga. Samakatuwid, ang
ay hindi umiiral.
Mga basikong(basic) patakaran ng hangganan at pagpapatunay nito
Konstanteng patakaran para sa mga hangganan
- Kung ang b at c ay mga konstante, ang hangganan ay:
.
Upang mapatunayan na ang , kailangan nating hanapin ang isang
na sa bawat
,
sa tuwing
.
at
, kaya
ay idependiyenteng masasapatan sa bawat halaga ng
; samakatuwid, maaari tayong pumili ng anumang
na ating naisin at ang
na kundisyon ay totoo.
Identidad na patakaran para sa mga hangganan
- Kung ang c ay isang konstante, ang hangganan ay:
.
Upang patunayan ang , kailangan nating humanap ng
na sa bawat
,
sa tuwing ang
. Kung pipiliin
, ito ay sasapat sa kondisyon.
Skalar na patakarang produkto para sa mga hangganan
Dahil sa binigyan tayo ng , mayroon isang punsiyon na tawagin nating
, na sa bawat
,
sa tuwing ang
. Ngayon, kailangan nating humanap ng
na sa lahat ng
,
sa tuwing ang
.
Una, ipagpalagay natin na ang .
, kaya ang
. Sa kasong ito, kung itatakda ang
, ito ay sasapat sa kondisyon ng hangganans.
Ngayon kung ipagpalagay nating ang . Dahil sa ang
ay may hangganan sa
, alam natin sa depinisyon ng hangganan na ang
ay inilalarawan sa bukas na interbal na D na naglalaman ng
(maliban siguro kung sa
mismo). Sa partikular, alam nating ang
ay hindi lumalaki sa inpinidad sa loob ng D (maliban na lang siguro sa
, ngunit hindi ito makakaapekto sa hangganan), kaya ang
sa D. Dahil sa ang
ay isang konstanteng punsiyon na
sa D, ang hangganan na
sa pamamagitan ng konstanteng patakaran para sa mga hangganan.
Ngayon, ipagpalagay na ang .
, kaya ang
. Sa kasong ito, kung itatakda ang
, ito ay sasapat sa kondisyon ng hangganan.
patakaran suma(sum) para sa mga hangganan
Ipagpalagay nating ang and
. Kung gayon, ang
Dahil sa binigyan tayo ng at
, mayroon dapat mga punsiyon na tawagin nating
at
, na sa lahat ng
,
sa tuwing ang
, at .
sa tuwing ang
.
Kung idagdag ang dalawang inekwalidad ay magreresulta ng . Sa pamamagitan ng inekwalidad ng tatsulok, mayroon tayong
, kaya mayroon tayong
sa tuwing ang
at
. Itakda natin ang
na maging mas maliit sa
at
. Sa gayon, ang
ito ay sasapat sa depinisyon ng hangganan para sa
na mayroon hangganan na
.
Diperensiyang patakaran para sa mga hangganan
Ipagpalagay nating ang at
. Kung gayon,
Ilarawan ang . Sa pamamagitan ng patakaran produkto para sa mga hangganan,
. Sa pamamagitan ng patakaran suma para sa mga hangganan,
.
patakaran produkto para sa mga hangganan
Itakda natin ang na maging kahit anong positibong bilang. Ang pagpapalagay na ito ay nagpapahiwatig ng pag-iral mga positibong bilang na
na ang
kapag ang
kapag ang
when
Ayon sa ikatlong kondisyon, makikita natin na ang:
when
Ipagpalagay nating ang at gamit ang (1) at (2) makakamit natin ang
Kosiyenteng patakaran para sa mga hangganan
Ipagpalagay nating ang and
and
. Kung gayon, ang
Kung maipapakita nating ang , kung gayon ay maaari tayong maglarawan ng isang punsiyon na
bilang
at gamitin ang patakaran produkto para sa mga hangganan upang patunayan ang teorema. Kaya kailangan lang nating patunayan na ang
.
Itakda natin ang na maging anumang positibong bilang. Ang pagpapalagay ay nagpapahiwatig ng pag-iral ng mga positibong mga bilang na
na sa
kapag ang
kapag ang
Ayon sa ikalawang kondisyon, makikita nating ang
kapag ang
na nagpapahiwatig na:
kapag ang
Ipagpalagay nating na ang at gamit ang (1) at (3), makakamit natin ang:
Ipagpalagay nating ang
Mula sa mga asumpsiyon, alam nating may umiiral na na kung
at
kapag ang
.
Ang mga inekwalidad na ito ay katumbas ng at
kapag ang
.
Kung gagamitin ang alam natin na relatibong pag-aayos ng , at
, mayroon tayong
kapag ang
.
o kapag ang
.
Kaya ang kapag ang
.
Hangganan ng punsiyon habang papalapit sa inpinidad
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/66/Limit-at-infinity-graph.png/300px-Limit-at-infinity-graph.png)
Ang ang hangganan ng
kung ang
ay papalapit sa
kung sa bawat bilang na
may umiiral na bilang na
na sa tuwing ang
meron tayong:
Kung ito ay totoo, ito ay isinusulat ng:
o
as
Ang ang hangganan ng
kung ang
ay papalapit sa
kung sa bawat bilang na
, may umiiral na bilang
na sa tuwing ang
meron tayong:
Kung ito ay totoo, ito ay isinusulat ng:
o
as
Ang hangganan na inpinidad ng isang punsiyon
Itakda ang bilang isang punsiyon na inilalarawan sa isang bukas na interbal na
na naglalaman ng
, maliban sa
. Ating masasabi na ang:
kung sa bawat , may umiiral na
kung saan ang lahat ng
ay
meron tayong:
.
Kung ito ay totoo, ito ay isinusulat ng:
o
as
.
Ang hangganan ay:
kung sa bawat , may umiiral na
kung saan ang lahat ng
ay
Meron tayong:
.
Kung ito ay totoo, ito ay isinusulat ng:
o
as
.