ออกโทเนียน

ออกโทเนียนอาจมองให้เป็นหน่วยจำนวนจริงแปดหน่วย ออกโทเนียนทุกตัวคือผลรวมเชิงเส้นของหน่วยออกโทเนียน นั่นคือ {e₀,e₁,e₂,e₃,e₄,e₅,e₆,e₇}, โดยที่ e₀ คือสเกลาร์หรือส่วนจริง อาจใช้จำนวนจริง 1 แทนได้ นั่นคือ ทุกออกโทเนียน x สามารถเขียนได้อยู่ในรูป

x=x₀e₀+x₁e₁+x₂e₂+x₃e₃+x₄e₄+x₅e₅+x₆e₆+x₇e₇

การบวกลบออกโทเนียนสามารถทำได้โดยการบวกลบพจน์ที่สอดคล้องกันเหมือนควอเทอร์เนียน ในขณะที่การคูณยากกว่านั้น ผลคูณระหว่างออกโทเนียนสองจำนวนสามารถหาได้โดยการรวมผลคูณของทุก ๆ พจน์ ผลคูณของพจน์แต่ละคู่สามารถหาได้จากสูตรคูณของหน่วยออกโทเนียน เช่นตารางนี้เป็นต้น (ตารางนี้เขียนโดยอาร์เธอร์ เคย์ลีย์ ค.ศ. 1845 และจอห์น ที. เกรฟส์ ค.ศ. 1843)^[3]

		${\displaystyle e_{j}}$
	${\displaystyle e_{i}e_{j}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
${\displaystyle e_{i}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$
	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$
	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$
	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$
	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$
	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}}$
	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$

ตารางนี้สามารถสรุปอย่างคร่าวๆ ได้ดังนี้

${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

สังยุคของออกโทเนียน x=x₀e₀+x₁e₁+x₂e₂+x₃e₃+x₄e₄+x₅e₅+x₆e₆+x₇e₇

คือ x^*=x₀e₀-x₁e₁-x₂e₂-x₃e₃-x₄e₄-x₅e₅-x₆e₆-x₇e₇

ให้สังเกตว่าผลคูณของออกโทเนียนใดๆ กับสังยุคของจำนวนนั้น จะได้จำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

x^*x=x₀²+x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²+x₆²+x₇²