อนุกรมเรขาคณิต

ผลรวมย่อยของ n พจน์แรกคือ

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\,\!}$

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย ${\displaystyle (1-r)}$ ได้

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)\sum _{k=0}^{n}ar^{k}&=(1-r)(a+ar+ar^{2}+...+ar^{n})\\&=(a+ar+ar^{2}+...+ar^{n})-r(a+ar+ar^{2}+...+ar^{n})\\&=(a+{\cancel {ar}}+{\cancel {ar^{2}}}+...+{\cancel {ar^{n}}})-({\cancel {ar}}+{\cancel {ar^{2}}}+{\cancel {ar^{3}}}...+ar^{n+1})\\&=a-ar^{n+1}\end{aligned}}}$

ซึ่งพจน์อื่นๆ จะตัดกันหายไปหมด จัดรูปแบบใหม่ จะได้สูตรสำหรับคำนวณผลรวม โดยที่ r ≠ 1

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{n+1}-1)}{r-1}}}$

ดังนั้นกรณีทั่วไปของสูตรนี้คือ

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{n+1}-r^{m})}{r-1}}}$

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ คูณทั้งสองข้างด้วย ${\displaystyle (1-r^{2})}$

${\displaystyle (1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}=a-ar^{2n+2}}$

จะได้สูตร

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{2k}={\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}}$

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่

${\displaystyle (1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}=ar-ar^{2n+3}}$

จะได้สูตร

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}={\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}}$

สามารถคำนวณได้จากสูตรของผลรวมจำกัด

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}}$

ซึ่ง ${\displaystyle r^{k}}$ จะมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ k มีค่าเข้าใกล้อนันต์ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle |r|<1}$ ดังนั้น

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}-0={\frac {a}{1-r}}}$

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ จะได้สูตร

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k}={\frac {a}{1-r^{2}}}}$

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่ จะได้สูตร

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}={\frac {ar}{1-r^{2}}}}$

โดยที่สูตรทั้งหมดด้านบนจะใช้ได้เมื่อ ${\displaystyle |r|<1}$ เท่านั้น นอกเหนือจากนี้จะเป็นอนุกรมลู่ออก

สูตรผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตใช้เขียนทศนิยมซ้ำเป็นเศษส่วนได้ โดยตัวอย่างเช่น 0.121212... เขียนได้เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี a = 12/100 และ r = 1/100 ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}0.121212...&=0.12+0.0012+0.000012+...\\&={\frac {12}{100}}+{\frac {12}{10000}}+{\frac {12}{1000000}}+...\\&={\frac {12}{100}}+{\frac {12}{100}}\left({\frac {1}{100}}\right)+{\frac {12}{100}}\left({\frac {1}{100}}\right)^{2}+...\\&={\frac {12/100}{1-1/100}}={\frac {12/100}{99/100}}={\frac {12}{99}}={\frac {4}{33}}\end{aligned}}}$

ในทำนองเดียวกันสามารถพิสูจน์ได้ว่า ทศนิยมซ้ำที่มีช่วงซ้ำยาว n หลัก จะสามารถเขียนในรูปของเศษส่วนที่มีเศษเป็นชุดตัวเลขที่ซ้ำ และส่วนเป็น 10ⁿ - 1

จากสูตร

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}...+x^{n}+...}$ เมื่อ ${\displaystyle |x|<1}$

สามารถนำไปพิสูจน์อนุกรมอื่น ๆ ได้โดยแคลคูลัส เช่น เมื่อนำสูตรนี้ไปหาอนุพันธ์ซ้ำ ๆ จะได้

${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+5x^{4}+...+...+nx^{n-1}+...}$ เมื่อ ${\displaystyle |x|<1}$

${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{3}}}=2+6x+12x^{2}+20x^{3}+30x^{4}+...+n(n-1)x^{n-2}+...}$ เมื่อ ${\displaystyle |x|<1}$

${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{4}}}=6+24x+60x^{2}+120x^{3}+210x^{4}...+n(n-1)(n-2)x^{n-3}+...}$ เมื่อ ${\displaystyle |x|<1}$

เป็นเช่นนี้เรื่อยไป