ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

หลังคิดได้ผลของความโน้มถ่วงในด้านสัมพัทธนิยมและเรขาคณิตแล้ว ยังคงมีคำถามว่าด้วยที่มาของความโน้มถ่วงอยู่ ในความโน้มถ่วงแบบนิวตัน ที่มานั้นคือมวล ในสัมพัทธภาพพิเศษ กลายเป็นว่ามวลเป็นส่วนหนึ่งของปริมาณทั่วไปกว่า เรียก เทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัม (energy–momentum tensor) ซึ่งมีทั้งความหนาแน่นของพลังงานและโมเมนตัม ตลอดจนความเครียด (คือ ความดันและความเฉือน) โดยใช้หลักการสมมูล เทนเซอร์นี้จะสามารถวางนัยทั่วไปในปริภูมิ-เวลาโค้งได้ จากการเทียบเคียงกับความโน้มถ่วงแบบนิวตันเชิงเรขาคณิต จึงเป็นธรรมชาติที่จะสันนิษฐานว่าสมการฟีลด์สำหรับความโน้มถ่วงเชื่อมเทนเซอร์นี้กับเทนเซอร์ริตชี (Ricci tensor) ซึ่งอธิบายผลขึ้นลงชั้นเฉพาะหนึ่ง คือ การเปลี่ยนแปลงปริมาตรของกลุ่มหมอก (cloud) ของอนุภาคทดสอบขนาดเล็กซึ่งเริ่มจากสภาวะนิ่งแล้วตกอิสระ ในสัมพัทธภาพพิเศษ การอนุรักษ์พลังงาน-โมเมนตัมสมนัยกับข้อความว่าเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัมปลอดไดเวอร์เจนซ์ เช่นเดียวกัน สูตรนี้สามารถวางนัยทั่วไปในปริภูมิ-เวลาโค้งโดยการแทนอนุพันธ์ย่อยด้วยอนุพันธ์แมนิโฟลด์ (manifold) โค้งซึ่งเป็นอนุพันธ์แปรปรวนร่วมเกี่ยวที่ศึกษาในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ด้วยเงื่อนไขที่เพิ่มขึ้นมานี้ ไดเวอร์เจนซ์แปรปรวนร่วมเกี่ยวของเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัม และอะไรก็ตามที่อยู่อีกข้างหนึ่งของสมการย่อมเป็นศูนย์ ชุดของสมการที่ง่ายที่สุดนี้เป็นสิ่งที่เรียกว่าสมการสนามของไอน์สไตน์:

สมการสนามของไอน์สไตน์ ${\displaystyle G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-{\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }\,}$

ข้างซ้ายมือเป็นเทนเซอร์ไอน์สไตน์ ซึ่งเป็นการรวมเทนเซอร์ริตชีแบบปลอดไดเวอร์เจนซ์เฉพาะ ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ กับเทนเซอร์เมตริก โดยที่ ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ สมมาตร โดยเฉพาะ

${\displaystyle R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }\,}$

เป็นสเกลาร์ความโค้ง เทนเซอร์ริตชีเองสัมพันธ์กับเทนเซอร์ความโค้งรีมันน์ (Riemann curvature tensor) ซึ่งมีนัยทั่วไปกว่า โดยที่

${\displaystyle R_{\mu \nu }={R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }\,}$

ข้างขวามือ ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ เป็นเทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัม เทนเซอร์ทั้งหมดเขียนด้วยสัญกรณ์ดัชนีนามธรรม (abstract index notation)^[3] ในการเทียบเคียงการทำนายของทฤษฎีดังกล่าวกับผลการสังเกตสำหรับวงโคจรดาวเคราะห์ (หรือเทียบเท่าเงื่อนไขว่าในกรณีความโน้มถ่วงอ่อน ความเร็วต่ำจะต้องตรงกับกลศาสตร์แบบนิวตัน) จะได้ค่าคงตัวความได้สัดส่วน (proportionality constant) เป็น κ = 8πG/c⁴ โดยที่ G เป็นค่าคงตัวความโน้มถ่วง และ c เป็นความเร็วแสง^[4] เมื่อไม่มีมวล เทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัมจะหมดไป ผลคือ สมการไอน์สไตน์สุญญากาศ (vacuum Einstein equation)

${\displaystyle R_{\mu \nu }=0\,}$

นอกเหนือจากสัมพัทธภาพทั่วไป ยังคงมีทฤษฎีตัวเลือกอื่น ๆ ซึ่งสร้างบนพื้นฐานเดียวกัน ซึ่งมีกฎและ/หรือค่าคงตัวเพิ่มเติม นำไปสู่สมการฟีลด์ต่าง ๆ ตัวอย่างเช่น Brans–Dicke theory, teleparallelism และ Einstein–Cartan theory^[5]

สัมพัทธภาพทั่วไปเป็นทฤษฎีความโน้มถ่วงเมตริก โดยมีหัวใจเป็นสมการของไอน์สไตน์ ซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตของแมนิโฟลด์สี่มิติแบบรีมันน์เทียม (pseudo-Riemannian) ซึ่งเป็นตัวแทนของปริภูมิ-เวลาและพลังงาน-โมเมนตัมซึ่งอยู่ในปริภูมิ-เวลานั้น^[6] ปรากฏการณ์ซึ่งในกลศาสตร์แบบฉบับให้เหตุผลว่าเป็นกิริยา (action) ของแรงโน้มถ่วง (เช่น การตกอิสระ การเคลื่อนที่แบบโคจร และแนววิถีอวกาศยาน) สอดคล้องกับการเคลื่อนที่เฉื่อยภายในเรขาคณิตโค้งของปริภูมิ-เวลาในสัมพัทธภาพทั่วไป โดยไม่มีแรงโน้มถ่วงไปเบนวัตถุจากวิถีธรรมชาติอันเป็นเส้นตรงของมัน หากแต่ความโน้มถ่วงสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงคุณสมบัติของปริภูมิและเวลา ซึ่งเปลี่ยนวิถีเส้นตรงที่สุดที่เป็นไปได้ซึ่งวัตถุจะดำเนินโดยธรรมชาติเป็นลำดับ^[7] ส่วนความโค้งนั้นเกิดจากพลังงาน–โมเมนตัมของสสารอีกทอดหนึ่ง ถอดความจากนักสัมพัทธนิยม จอห์น อาร์ชิบัลด์ วีเลอร์ (John Archibald Wheeler) ปริภูมิ-เวลาบอกสสารว่าจะเคลื่อนที่อย่างไร สสารบอกปริภูมิ-เวลาว่าจะโค้งอย่างไร^[8]

ขณะที่สัมพัทธภาพทั่วไปแทนศักยะความโน้มถ่วงสเกลาร์ของกลศาสตร์แบบฉบับด้วยเทนเซอร์ค่าลำดับขั้นสอง (rank-two) สมมาตร แต่เทนเซอร์ค่าลำดับขั้นสองสมมาตรลดเหลือศักยะความโน้มถ่วงสเกลาร์ในบางกรณี สำหรับสนามความโน้มถ่วงอ่อนและความเร็วต่ำสัมพัทธ์กับความเร็วแสง การทำนายของทฤษฎีนี้บรรจบกับการทำนายของกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน^[9]

เพราะสัมพัทธภาพทั่วไปสร้างโดยใช้เทนเซอร์ จึงแสดงความแปรปรวนร่วมเกี่ยวทั่วไป โดยกฎของมัน และกฎอื่นที่คิดภายในกรอบสัมพัทธนิยมทั่วไป ยึดรูปแบบเดียวกันในทุกระบบพิกัด^[10] ยิ่งไปกว่านั้น ทฤษฎีนี้ไม่มีโครงสร้างพื้นหลังเรขาคณิตไม่แปรเปลี่ยนใด ๆ คือ ไม่ขึ้นกับพื้นหลัง ฉะนั้นมันสอดคล้องกับหลักการทั่วไปสัมพัทธนิยมที่เข้มงวดกว่า กล่าวคือ กฎฟิสิกส์เป็นเหมือนกับสำหรับผู้สังเกตทุกคน^[11] เฉพาะที่ดังแสดงในหลักการสมมูล ปริภูมิ-เวลาเป็นแบบมินคอฟสกี และกฎฟิสิกส์แสดงความยืนยงลอเรนตซ์เฉพาะที่ (local Lorentz invariance)^[12]

• บทนำทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป