ตัวผกผันการบวก

กำหนดให้เครื่องหมายบวก + เป็นการดำเนินการทวิภาคการบวกที่มีสมบัติการสลับที่ ${\displaystyle x+y=y+x}$ ซึ่งการดำเนินการดังกล่าวสามารถกระทำได้บนสมาชิกเป็นกลาง o เช่น ${\displaystyle x+o=o+x=x}$ และมีเพียงหนึ่งเดียว ${\displaystyle o'=o'+o=o}$ ดังนั้นหากมีค่า x และ x' ที่ทำให้เงื่อนไขนี้เป็นจริง

${\displaystyle x+x'=x'+x=o}$

จะเรียก x' ว่าเป็นตัวผกผันการบวกของ x (หรือในทางกลับกัน) และตัวผกผันการบวกนี้ก็จะมีเพียงหนึ่งเดียวสำหรับทุกๆ จำนวนจริง

ถ้าหาก + มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม ${\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}$ ตัวผกผันการบวกก็ยังคงมีเพียงหนึ่งเดียว คือ

${\displaystyle x''=x''+o=x''+(x+x')=(x''+x)+x'=o+x'=x'}$

ตัวผกผันการบวกเขียนแทนด้วย −x และเราสามารถเขียน x − y เป็นการลบแทน x + (−y) ก็ได้

• เอกลักษณ์การบวก
• ตัวผกผันการคูณ (อินเวิร์สการคูณ)