சேர்வு (கணிதம்)

முதலில் ஓர் எடுத்துக்காட்டு. ஐந்து நபர்கள் உள்ள ஒரு கூட்டத்திலிருந்து, வேறு எந்த நிபந்தனைகளுமில்லாமல் இரண்டு நபர்களை எத்தனை விதமாக பொறுக்கலாம் என்றால் அது 10 என்று அறிவோம். இதே கேள்வியை குறியீட்டில் கீழ்க்காணுமாறு குறிக்கலாம்:

${\displaystyle S=\{a,b,c,d,e\}}$

${\displaystyle S}$ இலிருந்து இரண்டு நபர்களைப் பொறுக்கக்கூடிய வழிகள்: ${\displaystyle \{a,b\};\{a,c\};\{a,d\};\{a,e\};\{b,c\};\{b,d\};\{b,e\};\{c,d\};\{c,e\};\{d,e\}}$ .

பொதுமைப்படுத்தினால்,

${\displaystyle n}$ உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கணத்திலிருந்து ${\displaystyle r}$ உறுப்புகளைச் சேர்வு கொள்ள உள்ள வழிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறியீட்டில் :

${\displaystyle C(n,r)}$ அல்லது ${\displaystyle C_{r}^{n}}$ அல்லது ${\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\r\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle C_{2}^{5}={5 \choose 2}={\frac {5!}{2!(5-2)!}}=10.}$

என்பதுதான் மேலேயுள்ள எடுத்துக்காட்டு.

மேலும் ஒரு சுருக்கமான முறை:

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {(n-0)}{(k-0)}}\times {\frac {(n-1)}{(k-1)}}\times {\frac {(n-2)}{(k-2)}}\times {\frac {(n-3)}{(k-3)}}\times \cdots \times {\frac {(n-(k-1))}{(k-(k-1))}}.}$

எடுத்துக்காட்டாக:

${\displaystyle {5 \choose 2}={\frac {5}{2}}\times {\frac {4}{1}}=10.}$

${\displaystyle {70 \choose 4}={\frac {70}{4}}\times {\frac {69}{3}}\times {\frac {68}{2}}\times {\frac {67}{1}}=916895.}$

(தனிக்கட்டுரையைப்பார்க்கவும்)

${\displaystyle (a+b)^{n}=a^{n}+{n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^{2}+...+{n \choose n}b^{n}}$

பாஸ்கலின் முக்கோணம் அவருடைய நிகழ்தகவு நூலில் பிரசுரிக்கப்பட்டுப் பயன்படுத்தப்பட்டது. ஈருறுப்புக்கெழுக்களை கணிப்பதற்குப் பயன்படும் இந்த முக்கோணத்தினுடைய மதிப்பு பாஸ்கலுடைய நிகழ்தகவுப் பிரச்சினைகளில் பயன்படுத்தப்பட்ட பிறகு தான் தெரிய வந்தது. அதனாலேயே அது இன்றும் பாஸ்கல் முக்கோணம் என்ற பெயரில் புழங்குகிறது.

இம்முக்கோணத்தில் ஒவ்வொரு உறுப்பும் அதற்கு மேல் வரியில் அதற்கு இருபக்கமும் உள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகை. அதனுடைய ஒவ்வொரு நிரையும், ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட ${\displaystyle n}$ க்கு ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ என்ற ஈருறுப்பின் அடுக்கினுடைய கெழுக்கள். எடுத்துக் காட்டாக, மேலிருந்து 3ஆவது நிரை ${\displaystyle (a+b)^{3}}$ இன் கெழுக்கள்.