சிறுசில்லி

ஒரு வளைவரையானது மற்றொரு வளைவரை மீது நழுவாமல் உருளும் போது உருளும் வளைவரையின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியின் பாதையை வரைந்தோமானால் கிடைக்கும் வளைவரை சிறுசில்லியாகும். அப்புள்ளி சிறுசில்லியின் உருவாக்கி அல்லது துருவப்புள்ளி எனப்படும்.படத்தில் நிலையான வளைவரை ஒரு பரவளைவு (நீலம்) உருளும் வளைவரையும் ஒரு சமமான பரவளைவு (பச்சை) உருளும் வளைவரையின் உச்சியின் பாதை (சிவப்பு) ஒரு சிறுசில்லி வளைவரை. இந்தச் சிறுசில்லி, டையோக்ளசின் சிசாய்ட் (cissoid of Diocles) ஆகும்.^[1]

• உருளும் வளைவரை ஒரு கோடாக இருந்தால் உருவாக்கும் புள்ளி அக்கோட்டில் அமையும். இதில் சிறுசில்லி நிலையான வளைவரையின் கூம்பி என அழைக்கப்படும்.
• உருளும் வளைவரை ஒரு வட்டமாகவும் நிலையான வளைவரை கோடாகவும் இருந்தால் சிறுசில்லி சில்லுருவாகும்.
• உருளும் வளைவரை ஒரு வட்டமாகவும் நிலையான வளைவரை கோடாகவும் இருந்து உருவாக்கும் புள்ளி, அவ்வட்டத்தின் மீது அமைந்தால் சிறுசில்லி வட்டப்புள்ளியுருவாகும்.

நிலையான வளைவரை சங்கிலியமாகவும் உருளும் வளைவரை கோடாகவும் கொண்டால்:

${\displaystyle f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)}$

${\displaystyle f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).}$

கீழுள்ளவாறு அமையும்படி கோட்டினை அளபுருவாக்கம் செய்ய:

${\displaystyle |f'(t)|\,}$ ${\displaystyle ={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}}$ ${\displaystyle ={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}}$ ${\displaystyle =|r'(t)|.\,}$

மேலுள்ள வாய்ப்பாட்டினைப் பயன்படுத்த:

${\displaystyle f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.}$

p = −i எனில், இதன் கற்பனைப் பகுதி மாறாத ஒன்றாகவும் சிறுசில்லி கிடைமட்டக் கோடாகவும் இருக்கும். சங்கிலிய வளைவுத் தொடர்களாலான பாதையில் ஒரு சதுரச் சக்கரம் எகிறாமல் உருள்வது இதன் ஒரு சுவாரசியமான பயன்பாடு.

• Besant, W. H. Notes on Roulettes and Glissettes, Deighton, Bell & Co., 1890. Online
• Weisstein, Eric W., "Roulette", MathWorld.

• Roulette at 2dcurves.com
• Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan (பிரெஞ்சு)
• Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen (செருமன் மொழி)