இயல் எண்

இயலெண்களின் கணத்தை N அல்லது ℕ என்ற குயீடுகளால் கணிதவியலாளர்கள் குறிக்கின்றனர். பழைய புத்தகங்களில் அரிதாக J என்ற குறியீடும் இயலெண்கள் கணத்தைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்பட்டது.^[8] இயலெண்களின் கணம் முடிவுறா கணமாகவும். அதே சமயத்தில் எண்ணத்தக்க கணமாகவும் உள்ளது. இக்கணம் எண்ணத்தக்கது என்பதைக் குறிக்கும்வகையில் இதன் முதலெண் ℵ₀ என்ற குறிக்கப்படுகின்றன.^[9]

"0" சேர்க்கப்பட்ட அல்லது சேர்க்கப்படாத இயலெண்கள் கணமா என்பதைத் தெளிவுபடுத்தும்வகையாக பின்னதற்கு "*" அல்லது என்ற "+"மேலொட்டும், முன்னதற்கு ">0" என்பது மேலொட்டு அல்லது கீழொட்டாகச் சேர்க்கப்படுகிறது.^[1]

ℕ⁰ = ℕ₀ = {0, 1, 2, …}

ℕ^* = ℕ⁺ = ℕ₁ = ℕ_>0 = {1, 2, …}.

மாறாக, நேர்ம முழுஎண்களிலிருந்து இயலெண்களை சுட்டெண் குறியீடு மூலம் வேறுபடுத்திக் காட்டலாம். ஆனால் இரு குறியீடுகளுமே பயன்படுத்தப்படுவதால் அந்தந்தச் சூழலைக் கொண்டே புரிந்து கொள்ளல் வேண்டும்.^[10]

ℕ = {0, 1, 2, …}.

ℤ⁺= {1, 2, …}.

இயலெண்களில் கூட்டல் செயலைக் கீழ்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:

a + 0 = a

a + S(b) = S(a + b) ${\displaystyle \forall }$ a, b.

இதில் S என்பது ஒரு இயலெண்ணின் தொடரியெண்ணைக் குறிக்கிறது.

இதனால் இயலெண்கள் கணம் (ℕ, +) ஒரு பரிமாற்று ஒற்றைக்குலம்; அதன் முற்றொருமை உறுப்பு  0. இந்த ஒற்றைக்குலம் நீக்கல் விதிகளை நிறைவு செய்யும்; மேலும் இந்த ஒற்றைக்குலத்தை ஒரு குலத்தில் உட்பொதிவு செய்யலாம். இயலெண்களைக் கொண்ட மிகச் சிறிய குலம் முழு எண்களாகும்.

S(0) = "1" வரையறுக்கப்பட்டால்,

b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b).

அதாவது b + 1 என்பது b இன் தொடரி (அடுத்த எண்) ஆகும்.

கூட்டல் வரையறையுடன் ஒத்ததாகப் பெருக்கல் கீழ்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

a × 0 = 0

a × S(b) = (a × b) + a.

இந்த வரையறையால் இயலெண்களின் கணம் (ℕ^*, ×),  1 ஐ பெருக்கல் சமனியாகக் கொண்ட பரிமாற்று ஒற்றைக்குலமாகிறது. இக்குலத்தின் பிறப்பாக்கி பகா எண்களின் கணமாகும்.

கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் ஒத்தியங்கும் தன்மை, பங்கீட்டுப் பண்பால் விளங்கும்:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

இப்பண்பினால் இயலெண்களின் கணம் ஒரு பரிமாற்று அரைவளையமாகும். இயலெண்களின் கணத்தில் கூட்டல் நேர்மாறு (எதிர்ம எண்கள்) கிடையாதென்பதால் இயலெண்களின் கணம் வளையமாக முடியாது; அது ஒரு அரைவளையம் மட்டுமே ஆகும்.

"0" ஐத் தவிர்த்துவிட்டு, "1" இலிருந்து துவங்கும் இயலெண்களுக்கும் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் வரையறைகள், a + 1 = S(a); a × 1 = a என்பதைத் தவிர மேலுள்ளவாறே அமையும்.

இப்பகுதியில் ab என்பது a × b ஐக் குறிக்கும்.

இயலெண்களின் முழுவரிசைமுறையின் வரையறை:

a + c = b என்றவாறு c என்ற இயலெண் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, a ≤ b ஆகும்.

இந்த வரிசைமுறை இயலெண்களில் எண்கணிதச் செயல்களோடு ஒத்தியங்கக் கூடியது:

a, b, c மூன்றும் இயலெண்கள்; a ≤ b எனில்,

a + c ≤ b + c மற்றும் ac ≤ bc ஆகும்.

இப்பகுதியில் ab என்பது a × b ஐக் குறிக்கும். மேலும் வழக்கமான செயலியை அமல்படுத்தும் வரிசை முறை பின்பற்றப்படும்.

ஒரு இயலெண்ணை மற்றொரு இயலெண்ணால் வகுத்து ஒரு இயலெண்ணை விடையாகப் பெறுவதென்பது, எல்லா இயலெண்களுக்கும் பொருந்தாது. அதற்குப் பதிலாக மீதிவரக்கூடிய வகுத்தல்முறை உள்ளது.

a, b இரு இயலெண்கள்; b ≠ 0 எனில் கீழ்வரும் முடிவினை நிறைவு செய்யும் q, r என்ற இரு இயலெண்களைக் காண முடியும்:

a = bq + r      ;      r < b.

a ஐ  b ஆல் வகுத்தலில் q ஈவு என்றும் r மீதி என்றும் அழைக்கப்படும். ஒவ்வொரு a, b இணைக்கும் அந்தந்த q, r இன் மதிப்புகள் தனித்துவமானவை. பல பண்புகள் (எகா: வகுதன்மை,) படிமுறைத்தீர்வுகள் (எகா: யூக்ளிடிய படிமுறைத்தீர்வு மற்றும் எண்கோட்டின் கருத்துக்களுக்கு யூக்ளிடிய வகுத்தல் அடிப்படையாக அமைகிறது.

• கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலுக்கான அடைவுப் பண்பு:

அனைத்து இயலெண்கள் a, b ஆகியவற்றுக்கு, a + b , a × b இரண்டும் இயலெண்களே.

• சேர்ப்புப் பண்பு:

அனைத்து இயலெண்கள் a, b, c ஆகியவற்றுக்கு,

a + (b + c) = (a + b) + c;

a × (b × c) = (a × b) × c.

• பரிமாற்றுத்தன்மை:

அனைத்து இயலெண்கள் a, b என்பனவற்றுக்கு,

a + b = b + a;

a × b = b × a.

• முற்றொருமை உறுப்பு:

ஒவ்வொரு இயலெண்ணுக்கும் (a):

a + 0 = a;

a × 1 = a.

• கூட்டல்-பெருக்கல் பங்கீட்டுப் பண்பு;

a, b, c இயலெண்கள் எனில்:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

• a , b இயலெண்கள்;

a × b = 0 எனில், a = 0 அல்லது b = 0 (அல்லது இரண்டுமே பூச்சியம்).

• எண்களின் பட்டியல்
• சூனியமும் இடமதிப்புத் திட்டமும்