ஆய்லர்-மெக்லாரின் வாய்பாடு

m, n இரண்டும் இயல் எண்கள்; [m,n], என்ற இடைவெளியில் x இன் மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கு, f(x), ஒரு மெய் அல்லது சிக்கலெண் மதிப்புக்கொண்ட தொடர்ச்சியான சார்பு எனில்:$${\displaystyle I=\int _{m}^{n}f(x)\,dx}$$ என்ற தொகையீட்டைக் கீழ்வரும் கூட்டுதொகையாகவும், (எதிர் மாறாகவும்) தோராயப்படுத்தலாம்.$${\displaystyle S=f(m+1)+\cdots +f(n-1)+f(n)}$$

ஆய்லர்-மெக்லாரின் வாய்பாடானது, கூட்டுத்தொகைக்கும் தொகையீட்டுக்கும் உள்ள வித்தியாசத்தை [m,n] இடைவெளியின் இறுதிப்புள்ளிகளில் (x = m, x = n) காணப்படும் உயர்வரிசை வகையீடுகளைக் கொண்டு (f^(k)(x)) கணக்கிடுகிறது.

p, நேர்ம முழு எண்ணுக்கு, [m,n] இடைவெளியில், f(x) சார்பானது p தடவைகள் வகையிடத்தக்கதாக இருந்தால்:$${\displaystyle S-I=\sum _{k=1}^{p}{{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m)\right)}+R_{p},}$$ இதில், B_k என்பது kஆவது பெர்னோலி எண் (B₁ = 1/2); R_p என்பது பிழை உறுப்பு; இப்பிழை உறுப்பின் மதிப்பானது, n, m, p, f ஆகியவற்றைச் சார்ந்தும், p இன் பொருத்தமான மதிப்புகளுக்குச் சிறியதாகவும் இருக்கும்.

B₁ ஐத் தவிர பிற ஒற்றை பெர்னோலி எண்கள் பூச்சியமாக இருக்குமென்பதால், பெரும்பாலும் இவ்வாய்பாடு, இரட்டைக் கீழொட்டுக்களைக் கொண்டு இவ்வாய்பாடு எழுதப்படுகிறது:^[1][2]$${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R_{p},}$$

(அல்லது)

$${\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m)\right)+R_{p}.}$$

• Weisstein, Eric W., "Euler–Maclaurin Integration Formulas", MathWorld.