Subgradient

En subgradient till en konvex funktion f i punkten ${\displaystyle x_{0}}$ är en vektor ${\displaystyle g}$ så att

${\displaystyle f(x)\geq f(x_{0})+g^{\mathrm {T} }(x-x_{0})}$ ,

för alla vektorer ${\displaystyle x}$ .

På samma sätt definieras en supergradient till konkava funktioner:

${\displaystyle f(x)\leq f(x_{0})+g^{\mathrm {T} }(x-x_{0})}$ .

Om f är differentierbar i ${\displaystyle x_{0}}$ finns bara en subgradient i ${\displaystyle x_{0}}$ , nämligen ${\displaystyle \nabla f(x_{0})}$ .

Funktionen

${\displaystyle f(x)=|x|\,}$

är deriverbar överallt utom för ${\displaystyle x=0}$ . I punkten ${\displaystyle x=0}$ är alla tal i intervallet ${\displaystyle [-1,1]}$ subgradienter till ${\displaystyle f}$ . Detta eftersom alla linjer som går igenom ${\displaystyle (0,0)}$ och har en lutning mellan -1 och 1 ligger helt under funktionskurvan.

• Boyd och Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press 2006