Låt och vara mätbara rum.
En funktion är mätbar om
-
för alla .
Man kan också säga att en funktion är -mätbar eller -mätbar.
Notera att man inte behöver ha något mått definierat på rummen för att avgöra om en funktion är mätbar.
Lebesguemätbar funktion
Om kan man också säga att en mätbar funktion är Lebesguemätbar.
Borelfunktion
Låt
-
Om X är ett topologiskt rum, och så kallas en mätbar funktion
-
för Borelfunktion.
Eftersom Borelmängder är genererad av öppna mängder kan man bevisa att en funktion är en Borelfunktion om och endast om
- , och .
är Borelmängder för alla öppna mängder
Alternativt, en funktion är en Borelfunktion om och endast om
-
är Borelmängder för alla .
Exempel
Se även
| Den här artikeln ingår i boken: Måtteori |
Källor
- G.B. Folland, Real analysis: Modern techniques and their applications, Second edition, Wiley interscience, (1999)