Binomna raspodela
U teoriji verovatnoće i statistici, binomna raspodela sa parametrima n i p je diskretna raspodela verovatnoće broja uspeha u sekvenci od n nezavisnih eksperimenata, svaki od kojih daje odgovor na da-ne pitanje, i svaki ima svoj bulov rezultat - uspeh/da/tačno/jedan (sa verovatnoćoḿ p) ili neuspeh/ne/lažno/nula (sa verovatnoćom q = 1 − p). Pojedinačni uspeh/neuspeh eksperimenta se takođe naziva Bernulijev pokušaj ili Bernulijev eksperiment, a sekvenca ishoda se naziva Bernulijev proces; za pojedinačni pokušaj, i.e., n = 1, binomna distribucija je Bernulijeva raspodela. Binomna distribucija je osnova za popularni binomni test statističkog značaja.
Funkcija verovatnoće | |
Funkcija kumulativne raspodele | |
Notacija | |
---|---|
Parametri | – broj pokušaja – verovatnoća uspeha za svaki pokušaj |
Nositelj | – broj uspeha |
pmf | |
CDF | |
Prosek | |
Medijana | ili |
Modus | ili |
Varijansa | |
Koef. asimetrije | |
Kurtoza | |
Entropija | u šanonima. |
MGF | |
CF | |
PGF | |
Fišerova informacija | (za fiksno ) |
Binomna distribucija se često koristi za modelovanje broja uspeha u uzorku veličine n koji je izvučen sa zamenom iz populacije veličine N. Ako se uzorkovanje vrši bez zamene, izvlačenja nisu nezavisna, pa je rezultirajuća raspodela hipergeometrijska, a ne binomna. Međutim, za N mnogo veće od n, binomna distribucija ostaje dobra aproksimacija i široko se koristi.
Specifikacija
Funkcija verovatnoće
Generalno, ako randomna promenljiva X sledi binomnu distribuciju sa parametrima n ∈ ℕ i p ∈ [0,1], piše se X ~ B(n, p). Verovatnoća da se dobije tačno k uspeha u n pokušaja je data funkcijom verovatnoće:
za k = 0, 1, 2, ..., n, gde je
binomni koeficijent,[1] po kome je raspodela dobila ime. Formula se može razumeti na sledeći način. k uspeha se javlja sa verovatnoćom pk i n − k neuspeha se javlja sa verovatnoćom (1 − p)n − k. Međutim, k uspeha se može javiti bilo gde među n pokušaja, i postoji različitih načina raspodeljivanja k uspeha u nizu od n pokušaja.
Pri stvaranju referentnih tabela za verovatnoću binomne distribucije, obično se tabela popunjava do n/2 vrednosti. To je zato što se za k > n/2, verovatnoća može izračunati njenim komplementom kao
Gledajući izraz f(k, n, p) kao funkciju od k, postoji k vrednosti koje je maksimiziraju. Stoga se k vrednost može naći izračunavajući
i upoređujući tu vrednost sa 1. Uvek postoji ceo broj M koji zadovoljava
f(k, n, p) je monotono rastući za k < M i monotono opadajući za k > M, uz izuzetak slučaja gde je (n + 1)p ceo broj. U tom slučaju, postoje dve vrednosti za koje je f maksimalno: (n + 1)p i (n + 1)p − 1. M je najverovatniji ishod (mada još uvek može da bude sveukupno malo verovatan) Bernulijevih pokušaja i naziva se modus.[2][3][4][5]
Funkcija kumulativne verovatnoće
Funkcija kumulativne verovatnoće se može izraziti kao:[6]
gde je „pod” ispod k, i.e. najveći ceo broj manji od ili jedna sa k.
On se može predstaviti u vidu regulisane nekompletne beta funkcije,[7][8] na sledeći način:[9]
Neki granični slučajevi zatvorenog oblika za funkciju kumulativne distribucije dati su u nastavku.
Primer
Pretpostavka je da se pristranim bacanjem novčića dobija glava sa verovatnoćom 0,3. Pitanje je: koja je verovatnoća postizanja 0, 1, ..., 6 glava posle šest bacanja?
Očekivanje
Ako je X ~ B(n, p), drugim rečima, X je binomno distribuirana randomna promenljiva, pri čemu je n ukupan broj eksperimenata, a p je verovatnoća svakog eksperimenta da proizvede uspešan rezultat, onda je očekivana vrednost X:[11]
Na primer, ako je n = 100, i p = 1/4, onda je prosečan broj uspešnih rezultata 25.
Proof: Srednja vrednost, μ, se direktno izračunava po definiciji
Srednja vrednost se može izvesti iz jednačine gde su sve randomne promenljive obuhvaćene Bernulijevom raspodelom sa ( ako i-ti eksperiment uspe, dok je inače ). Dobija se:
Varijansa
Varijansa je:
Dokaz: Neka je gde su sve nezavisne randomne promenljive Bernulijeve raspodele. Kako je , dobija se:
Reference
Literatura
Spoljašnje veze
- Interactive graphic: Univariate Distribution Relationships
- Binomial distribution formula calculator
- Difference of two binomial variables: X-Y
- Querying the binomial probability distribution in WolframAlpha
- Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Binomial coefficients”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
- Andrew Granville (1997). „Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I. Binomial coefficients modulo prime powers”. CMS Conf. Proc. 20: 151—162. Архивирано из оригинала 23. 09. 2015. г. Приступљено 15. 08. 2019.