Теорема Банаха-Штајнхауса или принцип равномерне ограничености је један од основних резултата функционалне анализе, скупа са теоремом Хана-Банаха и теоремом о отвореном пресликавању један од три камена темељца ове области математике. Теорему су 1927. године објавили пољски математичари Стефан Банах и Хуго Штајнхаус; независно од њих доказао ју је и Ханс Хан. Понекад се назива и изворним називом „принцип кондензације сингуларитета“.
Ако је фамилија равномерно ограничених линеарних пресликавања између два нормирана простора, јасно је да су тада равномерно ограничене и њихове вредности за сваку појединачну вредност аргумента. У свом основном облику, теорема Банаха-Штајнхауса тврди да, ако је домен
Банахов простор, важи и обрнуто: ако су вредности пресликавања из
за сваку појединачну вредност аргумента равномерне ограничене, онда су равномерно ограничене и норме пресликавања из
.
Доказ принципа равномерне ограничености почива на Беровој теореми о категорији.
За свако n означимо
Скупови Xn су затворени по непрекидности и према услову теореме њихова унија је цео простор X. Како је X Банахов (дакле и комплетан метрички) простор, према Беровој теореми о категорији неки XN садржи и неку куглу BX(x0, δ). Ако је x произвољно такво да је , тада је према линеарности
Стога је за свако x, , те следи
за све
.
Теорема Банаха-Штајнхауса се може на природан начин уопштити на бачвасте просторе, важну класу тополошких векторских простора:
Важна и једноставна последица принципа равномерне ограничености јесте следећа чињеница: Ако је низ непрекидних линеарних пресликавања из Банаховог простора X у нормиран простор Y који конвергира (тачка-по-тачка) ка функцији A, тада је и A непрекидно линеарно пресликавање. И заиста, линеарност следи директним преласком на граничну вредност; низ пресликавања An је ограничен за сваку вредност аргумента, те су стога и њихове норме ограничене: тврђење затим следи преласком на граничну вредност у
.
Теорема Банаха-Штајнхауса је од изузетног значаја у функционалној анализи. Заједно са теоремом Банаха-Алоглу, на пример, се користи како би се показало да у локално конвексниим просторима слаба ограниченост повлачи ограниченост, што је полазна тачка за принципе „од слабог ка јаком“, на пример за поређење слабе и јаке диференцијабилности.