Парсевалова теорема

Претпоставимо да су ${\displaystyle A(x)}$ и ${\displaystyle B(x)}$ две квадратне интеграбилне (у погледу Лебегове мере), функције сложене вредности на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ периоде ${\displaystyle 2\pi }$ са Фуријеовим редом

${\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}}$

и

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }b_{n}e^{inx}}$

респективно. Онда

где ${\displaystyle i}$ је имагинарна јединица, а хоризонталне цртице означавају сложену конјугацију .

Више уопштено, дата као абелова локална компактна група G са дуалношћу по Понтрагјину G^, Парсевалова теорема каже да Понтрагјин-Фуријеова трансформација јесте унитарни оператер између Хилбертових простора L² (G) и L² (G^) (с интеграција је против одговарајуће умањене Харове мере на две групе.) Када је G јединични круг Т, G^ су цели бројеви и то је случај који је горе разматран. Када је G права линија ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , G^ је такође ${\displaystyle \mathbb {R} }$ а унитарна трансформација је Фуријеова трансформација на стварној линији. Када је G циклична група Z_n, поново је самодуална, а Понтрагјин-Фоуријева трансформација је оно што се у примењеним контекстима назива дискретном Фуријевом трансформацијом .

Парсевалова теорема се такође може изразити на следећи начин: Претпоставимо да је ${\displaystyle f(x)}$ квадратна интеграбилна функција ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ (тј. ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle f^{2}(x)}$ су интегрисани на том интервалу), са Фуријеовим редом

${\displaystyle f(x)\simeq {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)).}$

Тада ^{[4] [5] [6]}

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}).}$

У физици и инжењерству, Парсевалова теорема се често пише као:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|X(\omega )|^{2}\,\mathrm {d} \omega =\int _{-\infty }^{\infty }|X(2\pi f)|^{2}\,\mathrm {d} f}$

где ${\displaystyle X(\omega )={\mathcal {F}}_{\omega }\{x(t)\}}$ представља континуирану Фуријеову трансформацију (у нормализованом, унитарном облику) од ${\displaystyle x(t)}$ , а ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ је фреквенција у радијанима у секунди.

Тумачење овог облика теореме је да се укупна енергија сигнала може израчунати сабирањем снаге по узорку током времена или спектралне снаге по фреквенцији.

За дискретне временске сигнале, теорема постаје:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|X_{2\pi }({\phi })|^{2}\mathrm {d} \phi }$

где ${\displaystyle X_{2\pi }}$ јесте дискретна Фуријеова трансформација (ДТФТ) од ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle \phi }$ представља угаону фреквенцију (у радијанима по узорку) од ${\displaystyle x}$ .

Алтернативно, за дискретну Фуријеову трансформацију (ДФТ), однос постаје:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}}$

где ${\displaystyle X[k]}$ јесте ДФТ од ${\displaystyle x[n]}$ , обе дужине ${\displaystyle N}$ .

Парсевалова теорема уско је повезана са осталим математичким резултатима који укључују унитарне трансформације:

• Парсевалов идентитет
• Планшерелова теорема
• Теорема Вајнер – Хинчин
• Беселова неједнакост

• Парсевал, МацТутор архива историје математике .
• Георге Б. Арфкен и Ханс Ј. Вебер, Математичке методе за физичаре (Харцоурт: Сан Диего, 2001).
• Хуберт Кеннеди, Осам математичких биографија (Перемптори Публицатионс: Сан Францисцо, 2002).
• Алан В. Оппенхеим и Роналд В. Сцхафер, 2. издање дискретне обраде сигнала (Прентице Халл: Уппер Саддле Ривер, Њ, 1999) стр. 60.
• Виллиам МцЦ. Сиеберт, Цирцуитс, Сигналс, анд Системс (МИТ Пресс: Цамбридге, МА, 1986), стр. 410–411.
• Давид В. Каммлер, Први курс у Фоуриеровој анализи (Прентице-Халл, Инц., Река Горње седло, Њ, 2000) стр. 74.

• Парсевалова теорема на МетВорлд