Лапласов оператор , у математици , је елиптички диференцијални оператор другог реда. Има бројне примене широм математике, те у физици , електростатици , квантној механици , обради снимака , итд. Назван је по француском математичару Пјеру Симону Лапласу .
Имајући у виду појмове дивергенције и градијента , за дату скаларну функцију u = u ( x , y , z ) {\displaystyle u=u(x,y,z)} , биће:
d i v g r a d u = ( ∂ 2 u ∂ x 2 , ∂ 2 u ∂ y 2 , ∂ 2 u ∂ z 2 ) {\displaystyle div\,grad\,u=({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}})} ,што се може написати као:
d i v g r a d u = ( ∂ 2 ∂ x 2 , ∂ 2 ∂ y 2 , ∂ 2 ∂ z 2 ) u {\displaystyle div\,grad\,u=({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}})u} .Десна страна последњег израза, без ознаке за функцију u {\displaystyle u} , представља Лапласов оператор и обележава се са делта - Δ:
Δ = ( ∂ 2 ∂ x 2 , ∂ 2 ∂ y 2 , ∂ 2 ∂ z 2 ) {\displaystyle \Delta =({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}})} .Користећи оператор набла, тај израз можемо записати као:
∇ 2 ϕ = ∇ ⋅ ( ∇ ϕ ) . {\displaystyle \nabla ^{2}\phi =\nabla \cdot (\nabla \phi )\;.}
Координатни изрази У једнодимензионалном и дводимензионалном Декартовом координатном систему Лапласов оператор је:
Δ 1 ≡ ∇ 1 2 = ∂ 2 ∂ x 2 , Δ 2 ≡ ∇ 2 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 . {\displaystyle \Delta _{1}\equiv \nabla _{1}^{2}={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\;,\quad \Delta _{2}\equiv \nabla _{2}^{2}={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}\;.} У тродимензионалном Декартовом координатном систему је :
Δ 3 ≡ ∇ 3 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta _{3}\equiv \nabla _{3}^{2}={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}\;.} У тродимензионалном цилиндричном координатном систему је:
∇ 2 t = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ t ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 t ∂ ϕ 2 + ∂ 2 t ∂ z 2 {\displaystyle \nabla ^{2}t={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial t \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}t \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2}t \over \partial z^{2}}} У тродимензионалном сферном координатном систему је :
∇ 2 t = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ t ∂ r ) + 1 r 2 sin θ ∂ ∂ θ ( sin θ ∂ t ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 t ∂ ϕ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}t={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial t \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial t \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}t \over \partial \phi ^{2}}} У Еуклидском простору R n {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} Лапласов оператор је дат у стандардним координатама као
Δ n = ∇ n 2 = ∑ j = 1 n ∂ 2 ∂ x i 2 {\displaystyle \Delta _{n}=\nabla _{n}^{2}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}} .Лапласов оператор у општим криволинијским координатама дан је са:
∇ 2 f ( q 1 , q 2 , q 3 ) = div grad f ( q 1 , q 2 , q 3 ) = {\displaystyle \nabla ^{2}f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=} = 1 H 1 H 2 H 3 [ ∂ ∂ q 1 ( H 2 H 3 H 1 ∂ f ∂ q 1 ) + ∂ ∂ q 2 ( H 1 H 3 H 2 ∂ f ∂ q 2 ) + ∂ ∂ q 3 ( H 1 H 2 H 3 ∂ f ∂ q 3 ) ] , {\displaystyle ={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {H_{2}H_{3}}{H_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {H_{1}H_{3}}{H_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {H_{1}H_{2}}{H_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{3}}}\right)\right],} где су H i {\displaystyle H_{i}\ } Ламеови коефицијенти. У случају Римановога криволинијскога простора дефинисанога метричким тензором g i j {\displaystyle g_{ij}} Лапласијан је дан са:
∇ 2 f = 1 g ∑ i = 1 n ∂ ∂ x i ( g ∑ k = 1 n g i k ∂ f ∂ x k ) {\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}({\sqrt {g}}\sum _{k=1}^{n}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}})} а метрика простора дефинисана је са:
d s 2 = ∑ i , j = 1 n g i j d x i d x j {\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}dx^{i}dx^{j}} .
Својства
Уопштења Лапласов оператор се може уопштити на више начина. Даламберов оператор је дефинисан на простору Минковског. Лаплас-Белтрамијев оператор је елиптички диференцијални оператор другог реда дефинисан на свакој Римановој многострукости. Лаплас-де Рамов оператор дејствује на просторима диференцијалних форми на псеудо-Римановим површима.