Јакобијеве елиптичке функције

Елиптичке функције могу да се представе у више различитих нотација. Први аргемент може да буде амплитуда ${\displaystyle \varphi }$ или ${\displaystyle u}$ . Други аргумент може да буде параметар ${\displaystyle m}$ или елеиптички модул ${\displaystyle k}$ , где вреди: ${\displaystyle k^{2}=m}$ . Може да буде и модуларни угао ${\displaystyle \alpha }$ , за који вреди:${\displaystyle m=k^{2}=sin^{2}\alpha }$ .

Јакобијева функције може да се представи као инверса елиптичкога интеграла прве врсте. Нека је елиптички интеграл прве врсте дан са:

${\displaystyle u=\int _{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}.}$

Елиптичка функција sn u је онда:

${\displaystyle \operatorname {sn} \;u=\sin \phi \,}$

а cn u је онда дан са:

${\displaystyle \operatorname {cn} \;u=\cos \phi }$

и

${\displaystyle \operatorname {dn} \;u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}.\,}$

Угао ${\displaystyle \phi }$ је амплитуда, а dn u = Δ(u) се назива делта амплитуда.

Јакобијеве елиптичке функције могу да се представе и помоћу тета функција, тако да вреди:

${\displaystyle {\mbox{sn}}(u;k)=-{\vartheta \vartheta _{11}(z;\tau ) \over \vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\tau )}}$

${\displaystyle {\mbox{cn}}(u;k)={\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\tau ) \over \vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\tau )}}$

${\displaystyle {\mbox{dn}}(u;k)={\vartheta _{01}\vartheta (z;\tau ) \over \vartheta \vartheta _{01}(z;\tau )}}$

Изменом поредка слова добијају се додатне три функције:

${\displaystyle \operatorname {ns} (u)=1/\operatorname {sn} (u)}$

${\displaystyle \operatorname {nc} (u)=1/\operatorname {cn} (u)}$

${\displaystyle \operatorname {nd} (u)=1/\operatorname {dn} (u)}$

Међусобни однос три главне функције дефинише додатне функције код којих прво и друго слово дају квоцијенте функција:

${\displaystyle \operatorname {sc} (u)=\operatorname {sn} (u)/\operatorname {cn(u)} }$

${\displaystyle \operatorname {sd} (u)=\operatorname {sn} (u)/\operatorname {dn(u)} }$

${\displaystyle \operatorname {dc} (u)=\operatorname {dn} (u)/\operatorname {cn(u)} }$

${\displaystyle \operatorname {ds} (u)=\operatorname {dn} (u)/\operatorname {sn(u)} }$

${\displaystyle \operatorname {cs} (u)=\operatorname {cn} (u)/\operatorname {sn(u)} }$

${\displaystyle \operatorname {cd} (u)=\operatorname {cn} (u)/\operatorname {dn(u)} }$

Главне елиптичке функције задовољавају адиционе релације:

${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}(u,k)+\operatorname {sn} ^{2}(u,k)=1,\,}$

${\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}(u,k)+k^{2}\ \operatorname {sn} ^{2}(u,k)=1.\,}$

Те три функције (cn, sn, dn) параметарски одређују елиптичку криву. Поред осталога вреде и следеће једначине:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} (x+y)&={\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {dn} (x)\;\operatorname {dn} (y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {sn} (x+y)&={\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {cn} (y)\;\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {dn} (x) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {dn} (x+y)&={\operatorname {dn} (x)\;\operatorname {dn} (y)-k^{2}\;\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {cn} (y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle -\operatorname {dn} ^{2}(u)+m_{1}=-m\;\operatorname {cn} ^{2}(u)=m\;\operatorname {sn} ^{2}(u)-m}$

${\displaystyle -m_{1}\;\operatorname {nd} ^{2}(u)+m_{1}=-mm_{1}\;\operatorname {sd} ^{2}(u)=m\;\operatorname {cd} ^{2}(u)-m}$

${\displaystyle m_{1}\;\operatorname {sc} ^{2}(u)+m_{1}=m_{1}\;\operatorname {nc} ^{2}(u)=\operatorname {dc} ^{2}(u)-m}$

${\displaystyle \operatorname {cs} ^{2}(u)+m_{1}=\operatorname {ds} ^{2}(u)=\operatorname {ns} ^{2}(u)-m}$

где је m + m₁ = 1 и m = k².

Јакобијеве функције могу да се развију у ред помоћу ${\displaystyle q=\exp(-\pi K'/K)}$ и ${\displaystyle v=\pi u/(2K)}$ :

${\displaystyle \operatorname {sn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin(2n+1)v,}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos(2n+1)v,}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos 2nv.}$

Деривацијом три основне Јакобијеве елиптичке функције добија се:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {sn} \,(z)=\mathrm {cn} \,(z)\,\mathrm {dn} \,(z),}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {cn} \,(z)=-\mathrm {sn} \,(z)\,\mathrm {dn} \,(z),}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {dn} \,(z)=-k^{2}\mathrm {sn} \,(z)\,\mathrm {cn} \,(z).}$

Функција ${\displaystyle \mathrm {sn} \,(x)}$ задовољава диференцијалне једначине:

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2})}$

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2})}$

Функција ${\displaystyle \mathrm {cn} \,(x)}$ задовољава диференцијалну једначину:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^{3}=0}$

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}+k^{2}y^{2})}$

Функција ${\displaystyle \mathrm {dn} \,(x)}$ задовољава диференцијалне једначине:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0}$

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2}-y^{2})}$

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Елиптичке функције
• Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press
• E. T. Whittaker and G. N. Watson A Course of Modern Analysis, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58807-2.