Transformimi Z

Transformimi Z mund të përkufizohet si një transformim i njëanshëm ose i dyanshëm . (Ashtu si kemi transformimin e Laplasit të njëanshëm dhe transformimin e Laplasit të dyanshëm . ) ^[4]

Transformimi Z i dyanshëm ose i dyanshëm i një sinjali me kohë diskrete ${\displaystyle x[n]}$ është seria formale e fuqisë ${\displaystyle X(z)}$ përcaktuar si:

${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}$ Stampa:Equation box 1ku ${\displaystyle n}$ është një numër i plotë dhe ${\displaystyle z}$ është, në përgjithësi, një numër kompleks . Në formë polare, ${\displaystyle z}$ mund të shkruhet si:

${\displaystyle z=Ae^{j\phi }=A\cdot (\cos {\phi }+j\sin {\phi })}$

ku ${\displaystyle A}$ është moduli i ${\displaystyle z}$ , ${\displaystyle j}$ është njësia imagjinare, dhe ${\displaystyle \phi }$ është argumenti kompleks (i referuar edhe si kënd ose faza ) në radianë .

Përndryshe, në rastet kur ${\displaystyle x[n]}$ është përcaktuar vetëm për ${\displaystyle n\geq 0}$ , transformimi Z i njëanshëm përkufizohet si:

${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}$ Stampa:Equation box 1Në përpunimin e sinjalit, ky përkufizim mund të përdoret për të vlerësuar transformimin Z të përgjigjes së impulsit të njësisë së një sistemi shkakësor në kohë diskrete.

Një shembull i rëndësishëm i transformimit të njëanshëm Z është funksioni gjenerues i probabilitetit, ku përbërësja ${\displaystyle x[n]}$ është probabiliteti që një ndryshore e rastit diskrete të marrë vlerën ${\displaystyle n}$ , dhe funksioni ${\displaystyle X(z)}$ zakonisht shkruhet si ${\displaystyle X(s)}$ ne kushtet e ${\displaystyle s=z^{-1}}$ . Vetitë e shndërrimeve Z (të renditura në Transformimi Z § Properties ) kanë interpretime të dobishme në kontekstin e teorisë së probabilitetit.

Transformimi i anasjelltë Z është:Stampa:Equation box 1${\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz}$

ku ${\displaystyle C}$ është një shteg i mbyllur kundërorar që rrethon origjinën dhe i tëri në zonën e konvergjencës (ZK). Në rastin kur ZK është shkakësore (shih shembullin 2 ), kjo do të thotë shtegu ${\displaystyle C}$ duhet të rrethojnë të gjitha polet e ${\displaystyle X(z)}$ .

Rajoni i konvergjencës ose zona e konvergjencës (ROC ose ZK) është grupi i pikave në planin kompleks për të cilin shuma e shndërrimit Z konvergjon (dmth. nuk shpërthen në madhësi deri në pafundësi):

${\displaystyle \mathrm {ROC} =\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}$

Le të jetë ${\displaystyle x[n]=(.5)^{n}\ .}$ Duke u zgjeruar ${\displaystyle x[n]}$ në intervalin ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ bëhet

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,(.5)^{-3},(.5)^{-2},(.5)^{-1},1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}=\left\{\dots ,2^{3},2^{2},2,1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}.}$

Duke parë shumën

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .}$

Prandaj, nuk ka vlera të ${\displaystyle z}$ që plotësojnë këtë kusht.

Le ${\displaystyle x[n]=(.5)^{n}\,u[n]}$ (ku ${\displaystyle u}$ është funksioni i hapit Heaviside ). Duke u zgjeruar ${\displaystyle x[n]}$ në intervalin ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ bëhet

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,0,0,0,1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}.}$

Duke parë shumën

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }(.5)^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-(.5)z^{-1}}}.}$

Barazia e fundit lind nga seria e pafundme gjeometrike dhe barazia vlen vetëm nëse ${\displaystyle |(.5)z^{-1}|<1,}$ të cilat mund të rishkruhen në terma të ${\displaystyle z}$ si ${\displaystyle |z|>(.5).}$ Kështu, ZK është ${\displaystyle |z|>(.5).}$ Në këtë rast, ZK është rrafshi kompleks me një disk me rreze 0,5 në origjinë.

Le ${\displaystyle x[n]=-(.5)^{n}\,u[-n-1]}$ (ku ${\displaystyle u}$ është funksioni i hapit Heaviside ). Duke u zgjeruar ${\displaystyle x[n]}$ në intervalin ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ bëhet

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,-(.5)^{-3},-(.5)^{-2},-(.5)^{-1},0,0,0,0,\dots \right\}.}$

Duke parë shumën

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}&=-\sum _{n=-\infty }^{-1}(.5)^{n}\,z^{-n}\\&=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{.5}}\right)^{m}\\&=-{\frac {(.5)^{-1}z}{1-(.5)^{-1}z}}\\&=-{\frac {1}{(.5)z^{-1}-1}}\\&={\frac {1}{1-(.5)z^{-1}}}\\\end{aligned}}}$

dhe duke përdorur sërish serinë e pafundme gjeometrike, barazia vlen vetëm nëse ${\displaystyle |(.5)^{-1}z|<1}$ të cilat mund të rishkruhen në terma të ${\displaystyle z}$ si ${\displaystyle |z|<(.5).}$ Kështu, ZK është ${\displaystyle |z|<(.5).}$ Në këtë rast, ZK është një zonë me qendër në origjinë dhe me rreze 0,5.

Vetitë e transformimit Z

Vetia	Rrafshi i kohës	Rrafshi Z	Prova	ZK
Përkufizimi i shndërrimit Z	${\displaystyle x[n]}$	${\displaystyle X(z)}$	${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}}$ ${\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}}$	${\displaystyle r_{2}<|z|<r_{1}}$
Lineariteti	${\displaystyle a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]}$	${\displaystyle a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}(n)\,z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)\,z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}}$	Përmban ROC1 ∩ ROC2
Zgjerimi në kohë	${\displaystyle x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=Kr\\0,&n\notin K\mathbb {Z} \end{cases}}}$ me ${\displaystyle K\mathbb {Z} :=\{Kr:r\in \mathbb {Z} \}}$	${\displaystyle X(z^{K})}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X_{K}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{K}(n)z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)z^{-rK}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)(z^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{aligned}}}$	${\displaystyle R^{\frac {1}{K}}}$
Cungimi	${\displaystyle x[Kn]}$	${\displaystyle {\frac {1}{K}}\sum _{p=0}^{K-1}X\left(z^{\tfrac {1}{K}}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{K}}p}\right)}$	ohio-state.edu or ee.ic.ac.uk
Vonesa në kohë	${\displaystyle x[n-k]}$ with ${\displaystyle k>0}$ and ${\displaystyle x:x[n]=0\ \forall \,n<0}$	${\displaystyle z^{-k}X(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}}$	ZK, përveç ${\displaystyle z{=}0}$ nëse ${\displaystyle k>0}$ dhe ${\displaystyle z{=}\infty }$ nëse ${\displaystyle k<0}$
Hertesa në kohë	${\displaystyle x[n+k]}$ with ${\displaystyle k>0}$	Transformimi z i dyanshëm: $${\displaystyle z^{k}X(z)}$$ Transformimi z i njëanshëm:[5]$${\displaystyle z^{k}\,X(z)-z^{k}\sum _{n=0}^{k-1}x[n]\,z^{-n}}$$
Ndryshesa e parë pas	${\displaystyle x[n]-x[n-1]}$ with ${\displaystyle x[n]{=}0}$ for ${\displaystyle n<0}$	${\displaystyle (1-z^{-1})\,X(z)}$
Ndryshesa e parë para	${\displaystyle x[n+1]-x[n]}$	${\displaystyle (z-1)\,X(z)-z\,x[0]}$
Kthimi i kohës	${\displaystyle x[-n]}$	${\displaystyle X(z^{-1})}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{\tfrac {1}{r_{2}}}}$
Shkallëzimi në domeinin z	${\displaystyle a^{n}x[n]}$	${\displaystyle X(a^{-1}z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}}$	${\displaystyle |a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}}$
Konjugimi kompleks	${\displaystyle x^{*}[n]}$	${\displaystyle X^{*}(z^{*})}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}}$
Pjesa reale	${\displaystyle \operatorname {Re} \{x[n]\}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]}$
Pjesa imagjinare	${\displaystyle \operatorname {Im} \{x[n]\}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]}$
Diferencimi në rrafshin z	${\displaystyle n\,x[n]}$	${\displaystyle -z{\frac {dX(z)}{dz}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{n\,x(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }n\,x(n)z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }n\,x(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-n\,z^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}}$	ZK, nëse ${\displaystyle X(z)}$ është racional; ZK me shumë mundësi përjashton kufirin, nëse ${\displaystyle X(z)}$ është racional[6]
Convolution	${\displaystyle x_{1}[n]*x_{2}[n]}$	${\displaystyle X_{1}(z)\,X_{2}(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}}$	Përmban ROC1 ∩ ROC2
Ndërkorrelimi	${\displaystyle r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]}$	${\displaystyle R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)}$		Përmban prerjen e ZK të ${\displaystyle X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})}$ dhe ${\displaystyle X_{2}(z)}$
Shtesa mbledhëse	${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{n}x[k]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{-n}\\&=X(z)\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X(z)\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X(z){\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}}$
Shumëzimi	${\displaystyle x_{1}[n]\,x_{2}[n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v}$		-

Teorema e Parsevalit

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v}$

Teorema e vlerës fillestare : Nëse ${\displaystyle x[n]}$ është shkakësore, pra

${\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).}$

Teorema e vlerës përfundimtare : Nëse polet e ${\displaystyle (z-1)X(z)}$ janë brenda rrethit njësi, atëherë

${\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).}$

Këtu:

${\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}$

është funksioni i hapit (ose i Heaviside) dhe

${\displaystyle \delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}$

	Sinjali, ${\displaystyle x[n]}$	Transformimi Z, ${\displaystyle X(z)}$	ZK
1	${\displaystyle \delta [n]}$	1	çdo z
2	${\displaystyle \delta [n-n_{0}]}$	${\displaystyle z^{-n_{0}}}$	${\displaystyle z\neq 0}$
3	${\displaystyle u[n]\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
4	${\displaystyle -u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<1}$
5	${\displaystyle nu[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
6	${\displaystyle -nu[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<1}$
7	${\displaystyle n^{2}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
8	${\displaystyle -n^{2}u[-n-1]\,}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|<1\,}$
9	${\displaystyle n^{3}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}$	${\displaystyle |z|>1\,}$
10	${\displaystyle -n^{3}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}}$	${\displaystyle |z|<1\,}$
11	${\displaystyle a^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
12	${\displaystyle -a^{n}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-az^{-1}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
13	${\displaystyle na^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
14	${\displaystyle -na^{n}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
15	${\displaystyle n^{2}a^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
16	${\displaystyle -n^{2}a^{n}u[-n-1]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}}$	${\displaystyle |z|<|a|}$
17	${\displaystyle \left({\begin{array}{c}n+m-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}}$ , for positive integer ${\displaystyle m}$ [6]	${\displaystyle |z|>|a|}$
18	${\displaystyle (-1)^{m}\left({\begin{array}{c}-n-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[-n-m]}$	${\displaystyle {\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}}$ , for positive integer ${\displaystyle m}$ [6]	${\displaystyle |z|<|a|}$
19	${\displaystyle \cos(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
20	${\displaystyle \sin(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>1}$
21	${\displaystyle a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$
22	${\displaystyle a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]}$	${\displaystyle {\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}}$	${\displaystyle |z|>|a|}$

Marrja e transformimit Z të ekuacionit të mësipërm (duke përdorur ligjet e linearitetit dhe të zhvendosjes së kohës) jep:

${\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}$

ku ${\displaystyle X(z)}$ dhe ${\displaystyle Y(z)}$ janë transformimi Z i ${\displaystyle x[n]}$ dhe ${\displaystyle y[n],}$ përkatësisht.

Riorganizimi i rezultateve në funksionin e transferimit të sistemit:

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.}$

Nga teorema themelore e algjebrës numëruesi ka ${\displaystyle M}$ rrënjë (që korrespondojnë me zerot e ${\displaystyle H}$ ) dhe emëruesi ka ${\displaystyle N}$ rrënjë (që korrespondojnë me polet). Rishkrimi i funksionit të transferimit në terma zerosh dhe polesh

${\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}},}$

ku ${\displaystyle q_{k}}$ eshte zero e ${\displaystyle k^{\text{të}}}$ dhe ${\displaystyle p_{k}}$ është poli i ${\displaystyle k^{\text{të}}}$ . Zerot dhe polet janë zakonisht komplekse dhe kur vizatohen në rrafshin kompleks (z-rrafsh), rezultati quhet grafiku pole-zero .

Përveç kësaj, mund të ekzistojnë edhe zero dhe pole në ${\displaystyle z{=}0}$ dhe ${\displaystyle z{=}\infty .}$ Nëse marrim në konsideratë këto pole dhe zero, si dhe zero dhe pole të rendit të shumëfishtë, numri i zerove dhe poleve është gjithmonë i barabartë.

Duke faktorizuar emëruesin, mund të përdoret zbërthimi i pjesshëm i thyesave, dhe funksionet rezultat më pas mund të shndërrohen përsëri në domenin e kohës me shndërrimin invers. Duke vepruar kështu do të rezultonte në përgjigjen impulsive dhe ekuacionin e ndryshimit të koeficientit konstant linear të sistemit.

Nëse një sistem i tillë ${\displaystyle H(z)}$ provokohet nga një sinjal ${\displaystyle X(z)}$ atëherë prodhimi është ${\displaystyle Y(z)=H(z)X(z).}$ Duke kryer zbërthimin e thyesave të pjesshme në ${\displaystyle Y(z)}$ dhe më pas duke marrë transformimin Z të anasjelltë, mund te gjendet ${\displaystyle y[n]}$ . Në praktikë, shpesh është e dobishme të zbërthehet në mënyrë të pjesshme ${\displaystyle \textstyle {\frac {Y(z)}{z}}}$ para se ta shumëzojmë atë madhësi me ${\displaystyle z}$ për të gjeneruar një formë të ${\displaystyle Y(z)}$ i cili ka terma me transformime Z të anasjellta lehtësisht të llogaritshme.