Në teorinë e probabiliteti dhe statistikë , shpërndarja hi është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti . Është shpërndarja e rrënjës katrore të shumës së katrorëve të një bashkësie ndryshoresh rasti të pavarura secila me një shpërndarje normale standarde, ose në mënyrë të njëvlerëshme, shpërndarja e largësisë Euklidiane të ndryshoreve të rastit nga origjina. Kështu, ajo lidhet me shpërndarjen hi-katror duke përshkruar shpërndarjen e rrënjëve katrore pozitive të një ndryshoreje që i bindet një shpërndarjeje hi-katrore.
Nëse Z 1 , … , Z k {\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{k}} janë k {\displaystyle k} ndryshore rasti të pavarura, me shpërndarje normale me mesatare 0 dhe devijim standard 1, pastaj statistika
Y = ∑ i = 1 k Z i 2 {\displaystyle Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}}} shpërndahet sipas shpërndarjes hi. Shpërndarja hi ka një parametër, k {\displaystyle k} , i cili specifikon numrin e shkallëve të lirisë (dmth. numrin e ndryshoreve të rastit Z i {\displaystyle Z_{i}} ).
Shembujt më të njohur janë shpërndarja Rayleigh (shpërndarja hi me dy shkallë lirie ) dhe shpërndarja Maxwell–Boltzmann e shpejtësive molekulare në një gaz ideal (shpërndarja hi me tre shkallë lirie).
Përkufizimet
Funksioni i dendësisë së probabilitetit Funksioni i dendësisë së probabilitetit (pdf) i shpërndarjes hi është
f ( x ; k ) = { x k − 1 e − x 2 / 2 2 k / 2 − 1 Γ ( k 2 ) , x ≥ 0 ; 0 , përndryshe . {\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geq 0;\\0,&{\text{përndryshe}}.\end{cases}}} ku Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} është funksioni gama .
Funksioni mbledhës i shpërndarjes Funksioni mbledhës i shpërndarjes jepet nga:
F ( x ; k ) = P ( k / 2 , x 2 / 2 ) {\displaystyle F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,} ku P ( k , x ) {\displaystyle P(k,x)} është funksioni gama i rregulluar .
Vetitë
Momente Momentet e papërpunuara më pas jepen nga:
μ j = ∫ 0 ∞ f ( x ; k ) x j d x = 2 j / 2 Γ ( 1 2 ( k + j ) ) Γ ( 1 2 k ) {\displaystyle \mu _{j}=\int _{0}^{\infty }f(x;k)x^{j}\mathrm {d} x=2^{j/2}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+j)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}} ku Γ ( z ) {\displaystyle \ \Gamma (z)\ } është funksioni gama . Kështu, momentet e para të papërpunuara janë:
μ 1 = 2 Γ ( 1 2 ( k + 1 ) ) Γ ( 1 2 k ) {\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+1)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}} μ 2 = k , {\displaystyle \mu _{2}=k\ ,} μ 3 = 2 2 Γ ( 1 2 ( k + 3 ) ) Γ ( 1 2 k ) = ( k + 1 ) μ 1 , {\displaystyle \mu _{3}=2{\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+3)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}=(k+1)\ \mu _{1}\ ,} μ 4 = ( k ) ( k + 2 ) , {\displaystyle \mu _{4}=(k)(k+2)\ ,} μ 5 = 4 2 Γ ( 1 2 ( k + 5 ) ) Γ ( 1 2 k ) = ( k + 1 ) ( k + 3 ) μ 1 , {\displaystyle \mu _{5}=4{\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k\!+\!5)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}=(k+1)(k+3)\ \mu _{1}\ ,} μ 6 = ( k ) ( k + 2 ) ( k + 4 ) , {\displaystyle \mu _{6}=(k)(k+2)(k+4)\ ,} Nga këto shprehje mund të nxjerrim marrëdhëniet e mëposhtme:
Mesatarja : μ = 2 Γ ( 1 2 ( k + 1 ) ) Γ ( 1 2 k ) , {\displaystyle \mu ={\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+1)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}\ ,} që llogaritet edhe si k − 1 2 {\displaystyle {\sqrt {k-{\tfrac {1}{2}}\ }}\ } për k të mëdha.
Varianca : V = k − μ 2 , {\displaystyle V=k-\mu ^{2}\ ,} e cila i afrohet 1 2 {\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\ } me rritjen e k .
Shtrirja : γ 1 = μ σ 3 ( 1 − 2 σ 2 ) . {\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\ \sigma ^{3}\ }}\left(1-2\sigma ^{2}\right)~.}
Kurtoza e tepërt : γ 2 = 2 σ 2 ( 1 − μ σ γ 1 − σ 2 ) . {\displaystyle \gamma _{2}={\frac {2}{\ \sigma ^{2}\ }}\left(1-\mu \ \sigma \ \gamma _{1}-\sigma ^{2}\right)~.}
Entropia Entropia jepet nga:
S = ln ( Γ ( k / 2 ) ) + 1 2 ( k − ln ( 2 ) − ( k − 1 ) ψ 0 ( k / 2 ) ) {\displaystyle S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi ^{0}(k/2))} ku ψ 0 ( z ) {\displaystyle \psi ^{0}(z)} është funksioni poligama .
Përafrim i madh n Gjejmë përafrimin e madh n = k + 1 {\displaystyle n=k+1} të mesatares dhe variancës së shpërndarjes hi. Kjo ka zbatim p.sh. në gjetjen e shpërndarjes së devijimit standard të një kampioni të popullatës së shpërndarë normalisht, ku n {\displaystyle n} është madhësia e kampionit.
Mesatarja është:
μ = 2 Γ ( n / 2 ) Γ ( ( n − 1 ) / 2 ) {\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma ((n-1)/2)}}} Ne përdorim formulën e dyfishimit të Lezhandrit për të shkruar:
2 n − 2 Γ ( ( n − 1 ) / 2 ) ⋅ Γ ( n / 2 ) = π Γ ( n − 1 ) {\displaystyle 2^{n-2}\,\Gamma ((n-1)/2)\cdot \Gamma (n/2)={\sqrt {\pi }}\Gamma (n-1)} ,në mënyrë që:
μ = 2 / π 2 n − 2 ( Γ ( n / 2 ) ) 2 Γ ( n − 1 ) {\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {(\Gamma (n/2))^{2}}{\Gamma (n-1)}}} Duke përdorur përafrimin e Stirlingut për funksionin gamma, marrim shprehjen e mëposhtme për mesataren:
μ = 2 / π 2 n − 2 ( 2 π ( n / 2 − 1 ) n / 2 − 1 + 1 / 2 e − ( n / 2 − 1 ) ⋅ [ 1 + 1 12 ( n / 2 − 1 ) + O ( 1 n 2 ) ] ) 2 2 π ( n − 2 ) n − 2 + 1 / 2 e − ( n − 2 ) ⋅ [ 1 + 1 12 ( n − 2 ) + O ( 1 n 2 ) ] {\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {\left({\sqrt {2\pi }}(n/2-1)^{n/2-1+1/2}e^{-(n/2-1)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n/2-1)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]\right)^{2}}{{\sqrt {2\pi }}(n-2)^{n-2+1/2}e^{-(n-2)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n-2)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]}}} = ( n − 2 ) 1 / 2 ⋅ [ 1 + 1 4 n + O ( 1 n 2 ) ] = n − 1 ( 1 − 1 n − 1 ) 1 / 2 ⋅ [ 1 + 1 4 n + O ( 1 n 2 ) ] {\displaystyle =(n-2)^{1/2}\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]={\sqrt {n-1}}\,(1-{\frac {1}{n-1}})^{1/2}\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]} = n − 1 ⋅ [ 1 − 1 2 n + O ( 1 n 2 ) ] ⋅ [ 1 + 1 4 n + O ( 1 n 2 ) ] {\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{2n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]} = n − 1 ⋅ [ 1 − 1 4 n + O ( 1 n 2 ) ] {\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]} E kështu varianca është:
V = ( n − 1 ) − μ 2 = ( n − 1 ) ⋅ 1 2 n ⋅ [ 1 + O ( 1 n ) ] {\displaystyle V=(n-1)-\mu ^{2}\,=(n-1)\cdot {\frac {1}{2n}}\,\cdot \left[1+O({\frac {1}{n}})\right]}
Shpërndarjet e ndërlidhura Nëse X ∼ χ k {\displaystyle X\sim \chi _{k}} atëherë X 2 ∼ χ k 2 {\displaystyle X^{2}\sim \chi _{k}^{2}} ( shpërndarja hi-katrore ) lim k → ∞ χ k − μ k σ k → d N ( 0 , 1 ) {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}-\mu _{k}}{\sigma _{k}}}\xrightarrow {d} \ N(0,1)\,} ( Shpërndarja normale )Nëse X ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle X\sim N(0,1)\,} atëherë | X | ∼ χ 1 {\displaystyle |X|\sim \chi _{1}\,} Nëse X ∼ χ 1 {\displaystyle X\sim \chi _{1}\,} atëherë σ X ∼ H N ( σ ) {\displaystyle \sigma X\sim HN(\sigma )\,} ( shpërndarje gjysmë normale ) për çdo σ > 0 {\displaystyle \sigma >0\,} χ 2 ∼ R a y l e i g h ( 1 ) {\displaystyle \chi _{2}\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,} ( Shpërndarja Rayleigh ) χ 3 ∼ M a x w e l l ( 1 ) {\displaystyle \chi _{3}\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,} ( Shpërndarja Maxwell ) ‖ N i = 1 , … , k ( 0 , 1 ) ‖ 2 ∼ χ k {\displaystyle \|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|_{2}\sim \chi _{k}} , norma Euklidiane e një vektori standard normal të rastit të me k {\displaystyle k} dimensione, shpërndahet sipas një shpërndarjeje hi me k {\displaystyle k} shkallët e lirisëShpërndarja chi është një rast i veçantë i shpërndarjes së përgjithësuar të gamës ose shpërndarjes Nakagami ose shpërndarjes joqendrore hi Mesatarja e shpërndarjes hi (shkallëzuar me rrënjën katrore të n − 1 {\displaystyle n-1} ) jep faktorin korrigjues në vlerësimin e paanshëm të devijimit standard të shpërndarjes normale . Shpërndarje të ndryshme hi dhe hi-katrore Emri Statistikat shpërndarja hi-katrore ∑ i = 1 k ( X i − μ i σ i ) 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}} shpërndarja joqendrore hi-katrore ∑ i = 1 k ( X i σ i ) 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}} shpërndarja hi ∑ i = 1 k ( X i − μ i σ i ) 2 {\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}} shpërndarja joqendrore hi ∑ i = 1 k ( X i σ i ) 2 {\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}
Shiko gjithashtu