Radiani

Një radian përkufizohet si këndi i shtrirë nga qendra e një rrethi i cili tendos një hark të barabartë në gjatësi me rrezen e rrethit. ^[5] Në përgjithësi, madhësia në radiane e një këndi është e barabartë me raportin e gjatësisë së harkut me rrezen e rrethit; kjo shprehet si ${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}}$ , ku θ është këndi i tendosur në radianë, s është gjatësia e harkut dhe r është rrezja. Një kënd i drejtë është saktësisht ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ radianë. ^[3]

Rrethi vetë (360°) që korrespondon me një rrotullim të plotë është gjatësia e perimetrit të pjestuar me rrezen, e cila është ${\displaystyle {\frac {2\pi r}{r}}}$ , ose 2π . Kështu, 2π radian është i barabartë me 360 gradë.

Lidhja 2π rad = 360° mund të nxirret duke përdorur formulën për gjatësinë e harkut, ${\textstyle \ell _{\text{arc}}=2\pi r\left({\tfrac {\theta }{360^{\circ }}}\right)}$ . Meqenëse radiani është masa e një këndi që tendoset nga një hark me gjatësi të barabartë me rrezen e rrethit, ${\textstyle 1=2\pi \left({\tfrac {1{\text{ rad}}}{360^{\circ }}}\right)}$ . Kjo mund të thjeshtohet më tej për ${\textstyle 1={\tfrac {2\pi {\text{ rad}}}{360^{\circ }}}}$ . Duke shumëzuar të dyja anët me 360° merret 360° = 2π rad .

Në kalkulus dhe në shumicën e degëve të tjera të matematikës përtej gjeometrisë praktike, këndet maten në radianë. Kjo për shkak se radianët kanë një natyrshmëri matematikore që çon në një formulim më elegant të disa rezultateve të rëndësishme.

Rezultatet në analizën matematike që përfshijnë funksione trigonometrike mund të shkruhen në mënyrë elegante dhe të përmbledhur kur argumentet e funksioneve shprehen në radianë. Për shembull, përdorimi i radianëve çon në formulën e thjeshtë të limitit

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1,}$

që është baza e shumë identiteteve të tjera në matematikë, duke përfshirë

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x=-\sin x.}$

Funksionet trigonometrike gjithashtu kanë zgjerime të thjeshta dhe elegante të serive kur përdoren radianët. Për shembull, kur ${\displaystyle x}$ është në radianë, seria e Tejlorit për ${\displaystyle \sin(x)}$ bëhet:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

Nëse ${\displaystyle x}$ do të shprehej në gradë, atëherë seria do të përmbante faktorë të çrregullt që përfshijnë fuqitë e ${\displaystyle \pi /180}$ : nëse ${\displaystyle x}$ është numri i gradëve, numri i radianëve është ${\displaystyle y=\pi x/180}$ , kështu që

${\displaystyle \sin x_{\mathrm {deg} }=\sin y_{\mathrm {rad} }={\frac {\pi }{180}}x-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{3}\ {\frac {x^{3}}{3!}}+\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{5}\ {\frac {x^{5}}{5!}}-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{7}\ {\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

Radiani përdoret gjerësisht në fizikë kur kërkohen matje këndore. Për shembull, shpejtësia këndore zakonisht shprehet në njësinë radian për sekondë (rad/s). Një rrotullim për sekondë korrespondon me 2 π radian për sekondë.

Në mënyrë të ngjashme, njësia e përdorur për nxitimin këndor është shpesh radian për sekondë për sekondë (rad/s ² ).

Për qëllime të analizës dimensionale, njësitë e shpejtësisë këndore dhe nxitimit këndor janë përkatësisht s ⁻¹ dhe s ⁻² .