Në analizë , integimi me pjesë është një rregull që transformon integralin e prodhimit të funksioneve në integrale më të thjeshta. Ky rregull bazohet tek formula për derivatin e prodhimit të funksioneve.
Nëqoftëse u = f (x ), v = g (x ), dhe diferencialet du = f '(x ) dx dhe dv = g '(x ) dx , atëhere rregulli i integrimit me pjesë pohon se
∫ u d v = u v − ∫ v d u , {\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du,\!} pra:
∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x . {\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx.\!}
Rregulli Supozoni se f (x ) dhe g (x ) janë dy funksione të diferencueshme dhe të vazhdueshme. Rregulli i prodhimit pohon se
( f ( x ) g ( x ) ) ′ = f ( x ) g ′ ( x ) + f ′ ( x ) g ( x ) {\displaystyle (f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)\!} Duke integruar të dyja anët marrim:
f ( x ) g ( x ) = ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x + ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle f(x)g(x)=\int f(x)g'(x)\,dx+\int f'(x)g(x)\,dx\!} Duke rriregulluar termat kemi:
∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx\!} Nga barazimi i mëlartëm marrim rregullin e integrimit me pjesë, i cili pohon se, në një interval të dhënë me pika fundore a dhe b ,
∫ a b f ( x ) g ′ ( x ) d x = [ f ( x ) g ( x ) ] a b − ∫ a b f ′ ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx\!} ku përdorim simbolikën e zakonshme
[ f ( x ) g ( x ) ] a b = f ( b ) g ( b ) − f ( a ) g ( a ) . {\displaystyle \left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}=f(b)g(b)-f(a)g(a).\!} Rregulli del të jetë i vërtetë duke përdorur rregullin e prodhimit për derivatet dhe teoremën themelore të analizës matematike. pra
f ( b ) g ( b ) − f ( a ) g ( a ) = ∫ a b d d x ( f ( x ) g ( x ) ) d x = ∫ a b f ′ ( x ) g ( x ) d x + ∫ a b f ( x ) g ′ ( x ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}f(b)g(b)-f(a)g(a)&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dx}}(f(x)g(x))\,dx\\&=\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx+\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx.\end{aligned}}} Në tekstet shkollore, rregulli jepet duke përdorur integralin e pacaktuar në formën
∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx\!} ose , nqs u = f (x ), v = g (x ) dhe diferencialet du = f ′(x ) dx dhe dv = g ′(x ) dx , atëhere merr formën :
∫ u d v = u v − ∫ v d u . {\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.\!}