Paretova porazdelitev [parétova ~] je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev . Imenuje se po italijanskem ekonomistu in sociologu Vilfredu Paretu (1848–1923). Uporablja se na področju socialnih, geofizikalnih in zavarovalniških ved. Zunaj ekonomskih ved se pogosto imenuje tudi Bradfordova porazdelitev.
Paretova porazdelitev Funkcija gostote verjetnosti za Paretovo porazdelitev z xm =1.Funkcija gostote verjetnosti za Paretovo porazdelitev.oznaka P a r e t o ( x m , k ) {\displaystyle Pareto(x_{m},k)\!} parametri x m > 0 {\displaystyle x_{\mathrm {m} }>0\,} parameter merila (realno število ) k > 0 {\displaystyle k>0\,} parameter oblike (realno število)interval x ∈ [ x m ; + ∞ ) {\displaystyle x\in [x_{\mathrm {m} };+\infty )\!} funkcija gostote verjetnosti k x m k x k + 1 za x > x m {\displaystyle {\frac {k\,x_{\mathrm {m} }^{k}}{x^{k+1}}}{\text{ za }}x>x_{m}\!} zbirna funkcija verjetnosti 1 − ( x m x ) k {\displaystyle 1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{k}\!} pričakovana vrednost k x m k − 1 za k > 1 {\displaystyle {\frac {k\,x_{\mathrm {m} }}{k-1}}{\text{ za }}k>1\,} mediana x m 2 k {\displaystyle x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{k}]{2}}} modus x m {\displaystyle x_{\mathrm {m} }\,} varianca x m 2 k ( k − 1 ) 2 ( k − 2 ) za k > 2 {\displaystyle {\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}k}{(k-1)^{2}(k-2)}}{\text{ za }}k>2\,} simetrija 2 ( 1 + k ) k − 3 k − 2 k za k > 3 {\displaystyle {\frac {2(1+k)}{k-3}}\,{\sqrt {\frac {k-2}{k}}}{\text{ za }}k>3\,} sploščenost 6 ( k 3 + k 2 − 6 k − 2 ) k ( k − 3 ) ( k − 4 ) k > 4 {\displaystyle {\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}}{\text{ }}k>4\,} entropija ln ( k x m ) − 1 k − 1 {\displaystyle \ln \left({\frac {k}{x_{\mathrm {m} }}}\right)-{\frac {1}{k}}-1\!} funkcija generiranja momentov k ( − x m t ) k Γ ( − k , − x m t ) za t < 0 {\displaystyle k(-x_{\mathrm {m} }t)^{k}\Gamma (-k,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ za}}t<0\,} karakteristična funkcija k ( − i x m t ) k Γ ( − k , − i x m t ) {\displaystyle k(-ix_{\mathrm {m} }t)^{k}\Gamma (-k,-ix_{\mathrm {m} }t)\,}
Definicija
Uporaba Paretova porazdelitev se uporablja na mnogih področjih :
itd.
Značilnosti
Funkcija gostote verjetnosti Funkcija gostote verjetnosti za Paretovo porazdelitev je
f X ( x ) = { k x m k x k + 1 za x > x m , 0 za x < x m . {\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}k\,{\dfrac {x_{\mathrm {m} }^{k}}{x^{k+1}}}&{\text{za }}x>x_{\mathrm {m} },\\[12pt]0&{\text{za }}x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}
Zbirna funkcija verjetnosti Zbirna funkcija verjetnosti je enaka
F X ( x ) = { 1 − ( x m x ) k za x ≥ x m , 0 za x < x m . {\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{k}&{\text{za }}x\geq x_{\mathrm {m} },\\0&{\text{za }}x<x_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}
Pričakovana vrednost Pričakovana vrednost je enaka
k x m k − 1 za k > 1 {\displaystyle {\frac {k\,x_{\mathrm {m} }}{k-1}}{\text{ za }}k>1\,}
Varianca Varianca je enaka
x m 2 k ( k − 1 ) 2 ( k − 2 ) za k > 2 {\displaystyle {\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}k}{(k-1)^{2}(k-2)}}{\text{ za }}k>2\,}
Sploščenost Sploščenost je
6 ( k 3 + k 2 − 6 k − 2 ) k ( k − 3 ) ( k − 4 ) za k > 4 {\displaystyle {\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}}{\text{ za }}k>4\,}
Koeficient simetrije Koeficient simetrije je enak
2 ( 1 + k ) k − 3 k − 2 k za k > 3 {\displaystyle {\frac {2(1+k)}{k-3}}\,{\sqrt {\frac {k-2}{k}}}{\text{ za }}k>3\,}
Funkcija generiranja momentov Funkcija generiranja momentov je
k ( − x m t ) k Γ ( − k , − x m t ) za t < 0 {\displaystyle k(-x_{\mathrm {m} }t)^{k}\Gamma (-k,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ za}}t<0\,} kjer je
Γ ( a , x ) {\displaystyle \Gamma (a,x)\!}
Karakteristična funkcija Karakteristična funkcija je
k ( − i x m t ) k Γ ( − k , − i x m t ) {\displaystyle k(-ix_{\mathrm {m} }t)^{k}\Gamma (-k,-ix_{\mathrm {m} }t)\,} kjer je
Γ ( a , x ) {\displaystyle \Gamma (a,x)\!}
Povezava z Diracovo delta funkcijo Ko je k → ∞ {\displaystyle k\to \infty \!} δ ( x − x m ) {\displaystyle \delta (x-x_{m})\!} δ {\displaystyle \delta \,} Diracova funkcija delta .
Povezave z drugimi porazdelitvami
Glej tudi
Zunanje povezave 
![{\displaystyle x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{k}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fdf86cbd7a8836f29913933cfb612965cc708e5)
minimalna vrednost, ki jo lahko zavzame slučajna spremenljivka X
pa je pozitivno celo število.
.
.
.
.
.
.
nepopolna funkcija gama.
naj bo porazdeljena po Paretovi porazdelitvi s parametroma
tako, da velja
.
