Ovojnica (matematika)
Ovójnica (tudi envelopa) je v geometriji družina krivulj v ravnini tako, da je krivulja tangenta na vse člane družine v isti točki. Točko na ovojnici se lahko predstavlja kot presečišče dveh sosednjih krivulj, kar je isto kot limita presekov bližnjih krivulj. To se lahko posploši na ploskve v prostoru in tudi na višje razsežnosti. Preprosto se to pove, da je ovojnica krivulje tangentna na vsak član družine krivulj (v ravnini) ali ploskev (v treh razsežnostih).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/EnvelopeAnim.gif/250px-EnvelopeAnim.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/12/Tangente41.svg/250px-Tangente41.svg.png)
Ovojnica družine krivulj
Naj bo vaka krivulja v družini dana z
, kjer je
parameter. Zapiše se
in se predpostavi, da je
diferenciabilna.
Ovojnica družine je definirana kot množica točk za katere je:
za vrednost , kjer je:
parcialni odvod funkcije
glede na
.[1]
Kadar za in
, ki sta dve vrednosti parametra, velja
, potem je presečišče krivulj
in
dano z:
ali (kar je isto):
Naj gre in dobi se zgornjo definicijo.
Druge definicije
- Ovojnica
je limita presečišč sosednjih krivulj
- Ovojnica
je krivulja, ki je tangentna na vse
- Ovojnica
je meja področja, ki je zapolnjeno s krivuljami
.
Velja ,
in
.
Ovojnica družine ploskev
Enoparametrična družina ploskev v trirazsežnem evklidskem prostoru je dana z enačbo:
kjer je realni parameter.[2]
Dve ploskvi, ki pripadata dvema različnima vrednostima in
, se sekata na skupni krivulji, ki je določena z:
Ko se približuje
, ta krivulja v točki
prehaja v krivuljo, ki je na ploskvi:
Ta krivulja se imenuje karakteristika družine v . Ko
spreminja geometrijsko mesto te karakteristične krivulje pri tem definira ploskev, ki se imenuje ovojnica družine ploskev.
- Ovojnica družine ploskev je tangentna na vsako ploskev družine vzdolž karakteristične krivulje te ploskve.
Glej tudi
Sklici
Viri
- Bruce, J. W.; Giblin, P. J. (1984), Curves and Singularities, Cambridge University Press, ISBN 0521429994
- Eisenhart, Luther P. (2008), A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces, Schwarz Press, ISBN 1443731609
Zunanje povezave
- Weisstein, Eric Wolfgang. »Envelope«. MathWorld.
- Ovojnica v Encyclopedia of Mathematics (angleško)