Nožiščna krivulja

Nožiščno krivuljo se dobi iz dane krivulje tako, da se izbere stalno točko ${\displaystyle P\,}$ (nožiščna točka tudi pol). Dana krivulja naj bo označena s ${\displaystyle C\,}$ . V poljubni točki ${\displaystyle R\,}$ na krivulji ${\displaystyle C\,}$ se potegne tangento ${\displaystyle T\,}$ . V tem primeru se lahko določi točko ${\displaystyle X\,}$ na ${\displaystyle T\,}$ , ki je enaka ${\displaystyle P\,}$ ali pa tvori skupaj s točko ${\displaystyle P\,}$ pravokotnico na ${\displaystyle T\,}$ . Nožiščna krivulja je geometrijsko mesto točk ${\displaystyle X\,}$ za vse ${\displaystyle R\,}$ na krivulji ${\displaystyle C\,}$ . (glej sliko na desni)

Podobno je točka ${\displaystyle Y\,}$ , ki leži na pravokotnici na ${\displaystyle C\,}$ v točki ${\displaystyle R\,}$ tako, da v pravokotniku ${\displaystyle PXRY\,}$ (lahko je tudi degeneriran) točke ${\displaystyle Y\,}$ tvorijo geometrijsko mesto točk krivulje, ki se imenuje antinožiščna krivulja. To je po nastanku nožiščni krivulji podobna krivulja, ki je nastala tako, da se namesto tangente v definiciji uporabi pravokotnico.

Enostavneje se to pove, da je nožiščna krivulja geometrijsko mesto točk nožišč (presečišče pravokotnice in krivulje) pravokotnic od stalne točke z vsemi tangentami na dano krivuljo.

Kadar je krivulja ${\displaystyle C\,}$ krožnica, je nastala krivulja Pascalov polž, zanj pa se lahko reče, da je:

• nožniščna krivulja krožnice
• ovojnica krožnic, katere premer ima eno končno točko fiksirano, druga točka pa teče po krožnici
• ovojnica krožnic skozi stalno točko, njihova središča pa tečejo po krožnici
• krivulja ruleta, ki nastane s krožnico, ki drsi naokrog po krožnici z enakim polmerom

Naj bo:

${\displaystyle {\vec {v}}=P-R\!\,}$

vektor s komponentama:

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{\parallel }+{\vec {v}}_{\perp }\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle {\vec {v}}_{\parallel }}$ tangentna komponenta
• ${\displaystyle {\vec {v}}_{\perp }}$ pravokotna komponenta

vektorja ${\displaystyle {\vec {v}}\,}$ glede na krivuljo.

Komponenta ${\displaystyle {\vec {v}}_{\parallel }\,}$ je vektor od ${\displaystyle R\,}$ do ${\displaystyle X\,}$ .

Če se označi parameter krivulje s ${\displaystyle c\,}$ , potem je parametrična oblika:

${\displaystyle t\mapsto c(t)+{\frac {c'(t)\cdot (P-c(t))}{|c'(t)|^{2}}}c'(t)\!\,.}$

Parametrično nožniščno krivuljo s pedalno točko v (0,0) se lahko definira kot:

${\displaystyle X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}}$

${\displaystyle Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}\!\,.}$

Antinožiščno krivuljo pa se določi z:

${\displaystyle t\mapsto P-{\frac {c'(t)\cdot (P-c(t))}{|c'(t)|^{2}}}c'(t)\!\,.}$

Za isto nožiščno točko je antinožiščna krivulja enaka nožniščni krivulji evolute dane krivulje.

• seznam krivulj

Wikimedijina zbirka ponuja več predstavnostnega gradiva o temi: nožiščna krivulja.

• Nožiščna krivulja v Preseku (slovensko)
• Žužki (krivulje) in nožiščne krivulje (slovensko)
• Nožiščne krivulje (angleško)
• Kaj je nožiščna krivulja (angleško)
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Pedal Curve«. MathWorld.
• Nožiščna krivulja (francosko)