Inverzni element

V množici M naj bo definirana operacija *, ki ima nevtralni element e (to pomeni, da velja za poljuben a iz te množice: a * e = e * a = a).

Element a⁻¹ je inverz elementa a glede na operacijo *, če velja: a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e.

Če velja samo a * a⁻¹ = e, pravimo, da je a⁻¹ desni inverz elementa a; če velja samo a⁻¹ * a = e, pa pravimo, da je a⁻¹ levi inverz elementa a. V splošnem ima a lahko samo levi ali pa tudi samo desni inverz, za matematiko pa je najzanimivejša situacija, ko je isti element levi in desni inverz hkrati - temu potem pravimo obojestranski inverz ali kratko samo inverz.

Če je operacija * asociativna in ima element a levi in desni inverz, potem mora biti to isti element in je enolično določen. Taka situacija nastopa npr. če je množica M grupa za operacijo *.

Inverzni element za seštevanje po navadi imenujemo nasprotni element ali nasprotna vrednost in ga označimo −a.

Velja: a + (−a) = (−a) + a = 0

Zgleda:

• Nasprotna vrednost števila 8 je število −8.
• Nasprotna vrednost vektorja ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {AB}}}$ je vektor ${\displaystyle -{\vec {x}}={\vec {BA}}}$ .

Inverzni element za množenje (v številskih množicah) po navadi imenujemo obratni element ali obratna vrednost (tudi recipročna vrednost) in ga označimo a⁻¹ ali tudi ${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$ .

Zgled:

• Obratna vrednost števila ${\displaystyle {\frac {2}{5}}}$ je ${\displaystyle {\frac {5}{2}}}$ .

Inverzni element za kompozitum funkcij imenujemo inverzna funkcija. To je funkcija, ki deluje obratno kot dana funkcija.

Množenje matrik je pravzaprav samo drugo ime za kompozitum linearnih transformacij. Inverzna matrika A⁻¹ predstavlja linearno transformacijo, ki deluje obratno kot dana matrika dimenzije n×n.

Zgleda:

• Inverz funkcije ${\displaystyle f(x)=x^{3}\,\!}$ je funkcija ${\displaystyle f^{-1}(x)={\sqrt[{3}]{x}}}$ .
• Inverz matrike ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix}}}$ je matrika ${\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}3&-5\\-1&2\end{bmatrix}}}$ .

• nevtralni element