Harmonična vrsta
Harmónična vŕsta je v matematiki divergentna vrsta:
Tako se imenuje, ker so valovne dolžine delnih tonov nihajoče strune sorazmerne z 1, 1/2, 1/3, 1/4, ··· . Vsak člen vrste za prvim je harmonična sredina sosednjih dveh členov, predhodnega in naslednjega, . Na primer:
Zaporedje členov s takšnimi značilnostmi je harmonično zaporedje, harmonična vrsta pa je vsota harmoničnega zaporedja (vsota členov harmoničnega zaporedja).
Tudi izraz harmonična sredina izvira iz glasbe.
Vrsta divergira, sicer počasi, k neskončnosti (vsota prvih 1043 členov je manj kot 100). To se lahko lepo pokaže z dejstvom, da je harmonična vrsta po členih večja ali enaka z vrsto:
ki očitno divergira. Ta dokaz je podal Nicole Oresme v 14. stoletju in predstavlja enega od viškov srednjeveške matematike. Kasneje so dokaze podali Pietro Mengoli, Johann in Jakob Bernoulli v 17. stoletju. Celo vsota obratnih vrednosti praštevil divergira k neskončnosti, čeprav je to težje dokazati.
Konvergenca alternirajoče harmonične vrste
Alternirajoča harmonična vrsta na drugi strani konvergira - je pogojno konvergentna:
Konvergenco alternirajoče harmonične vrste je leta 1650 v članku dokazal Mengoli. Ta enakost je posledica Mercatorjeve vrste, Taylorjeve vrste za naravni logaritem. Po obliki Mercatorjevi vrsti sorodna je vrsta:
To je posledica razvoja krožne fukncije arkus tangens v Taylorjevo vrsto, katere konvergenčni polmer je enak 1.
Delne vsote
n-ta delna vsota harmonične vrste:
se imenuje n-to harmonično število.
Razlika med n-tim harmoničnim številom in naravnim logaritmom od n konvergira k Euler-Macheronijevi konstanti:
Razlika med dvema različnima harmoničnima številoma ni nikoli celo število.
Splošna harmonična vrsta
Splošna harmonična vrsta ima obliko:
kjer sta konstanti a in b končni realni števili.
Vse splošne harmonične vrste divergirajo.[1]