Besslova funkcija

Besslova enačba se pojavi pri analitičnem reševanju nekaterih problemov matematične fizike v valjasti ali krogelni geometriji, kot na primer:

• prevajanje toplote ali difuzija v valju
• nihanje krožno vpete tanke membrane (npr. pri bobnu)
• elekromagnetna valovanja v valjastem valovnem vodniku. V teh primerih Besselove funkcije opisujejo dogajanje podobno kot harmonične funkcije (sinus, kosinus) v pravokotni geometriji.

Besslove funkcije imajo koristne lastnosti tudi pri reševanju nekaterih drugih problemov uporabne matematike.

Besslova funkcija prve vrste reda ${\displaystyle \nu }$ se izračuna kot:

${\displaystyle J_{\nu }=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{m}x^{2m+\nu }}{2^{2m+\nu }m!\Gamma \left(m+\nu +1\right)}}}$

Če ${\displaystyle \nu }$ ni celo število, funkciji ${\displaystyle J_{\nu }\left(x\right)}$ in${\displaystyle J_{-\nu }\left(x\right)}$ nista linearno odvisni, zato ima v tem primeru splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe obliko:

${\displaystyle y\left(x\right)=c_{1}J_{\nu }\left(x\right)+c_{2}J_{-\nu }\left(x\right)\qquad \left(\nu \not \in {\mathcal {Z}}\right)}$

Kjer sta ${\displaystyle c_{1}}$ in ${\displaystyle c_{2}}$ odvisna od začetnih pogojev.

Če je ${\displaystyle \nu }$ celo število, se izkaže, da sta funkciji ${\displaystyle J_{\nu }\left(x\right)}$ in${\displaystyle J_{-\nu }\left(x\right)}$ linearno odvisni, saj velja:

${\displaystyle J_{-\nu }\left(x\right)=\left(-1\right)^{\nu }J_{\nu }\left(x\right)}$

V tem primeru potrebujemo Besslovo funkcijo druge vrste reda ${\displaystyle \nu }$ , ponekod imenovano tudi Neumannova funkcija ali Webrova funkcija:

${\displaystyle Y_{\nu }\left(x\right)=\lim _{m\to \nu }{\frac {J_{m}\left(x\right)\cos \left(\pi m\right)-J_{-m}\left(x\right)}{\sin \left(\pi m\right)}}}$

V tem primeru je splošna rešitev Besslove diferencialne enačbe za katerikoli realni ${\displaystyle \nu }$ enaka:

${\displaystyle y\left(x\right)=c_{1}J_{\nu }\left(x\right)+c_{2}Y_{\nu }\left(x\right)\qquad \left(\nu \in {\mathcal {R}}\right)}$

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Bessel Function of the First Kind«. MathWorld.