Gama funkcia (iné názvy: funkcia gama, Γ {\displaystyle \Gamma } ) je zovšeobecnenie faktoriálu na obore komplexných čísiel .
Gama funkcia Funkcia faktoriál je pre prirodzené čísla definovaná nasledovným súčinom:
n ! = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) … × 3 × 2 × 1 {\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\ldots \times 3\times 2\times 1}
Gama funkcia nahrádza túto funkciu pre reálne a komplexné čísla :
Γ ( z + 1 ) = z ! {\displaystyle \Gamma (z+1)=z!\,} Pretože hodnoty funkcie faktoriál a gama rastú veľmi rýchlo, pri počítaní sa používa prirodzený logaritmus gama funkcie l n ( Γ ) {\displaystyle ln(\Gamma )}
Definícia Funkciu definovanú pre x > 0 {\displaystyle x>0}
Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t {\displaystyle {\begin{array}{lcl}\Gamma (x)=\operatorname {\int } \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t\end{array}}} nazývame gama funkciou (alebo tiež Eulerovým integrálom druhého druhu).
Tieto vzťahy definujú gama funkciu v oblasti Re z > 0 {\displaystyle {\text{Re}}z>0} { 0 , − 1 , − 2 , − 3 , … } {\displaystyle \{0,-1,-2,-3,\dots \}}
Dôležité vzťahy Niektoré dôležité vzťahy, ktoré platia pre gama funkciu:
Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,} Γ ( x ) Γ ( 1 − x ) = π sin π x pre 0 < x < 1 {\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (1-x)={\frac {\pi }{\sin {\pi x}}}\;{\mbox{ pre }}0<x<1} Γ ( x ) Γ ( x + 1 2 ) = π 2 2 x − 1 Γ ( 2 x ) {\displaystyle \Gamma (x)\Gamma \left(x+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2x-1}}}\Gamma (2x)} Špeciálne pre prirodzené čísla n {\displaystyle n} Γ ( n + 1 2 ) = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π {\displaystyle \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}} Pre prirodzené čísla n {\displaystyle n} Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,} B ( x , y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) {\displaystyle B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}} Γ ( x ) = lim n → ∞ n ! n x x ( x + 1 ) ⋯ ( x + n ) {\displaystyle \Gamma (x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{x}}{x\;(x+1)\cdots (x+n)}}\,\!} Nasledujúca definícia gama funkcie obsahujúca nekonečný súčin platí pre všetky komplexné čísla x {\displaystyle x} nula .
Γ ( x ) = e − γ x x ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x n ) − 1 e x / n {\displaystyle \Gamma (x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}\,\!} kde γ {\displaystyle \gamma } Eulerova-Mascheroniova konštanta [1]
Niektoré hodnoty V nasledujúcej kapitole sú uvedené niektoré konkrétne hodnoty, ktoré funkcia gama nadobúda:
Γ ( − 2 ) {\displaystyle \Gamma (-2)\,} (nedefinované) Γ ( − 3 2 ) {\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {3}{2}}\right)\,} = 4 π 3 {\displaystyle ={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}\,} Γ ( − 1 ) {\displaystyle \Gamma (-1)\,} (nedefinované) Γ ( − 1 2 ) {\displaystyle \Gamma \left(-{\frac {1}{2}}\right)\,} = − 2 π {\displaystyle =-2{\sqrt {\pi }}\,} Γ ( 0 ) {\displaystyle \Gamma (0)\,} (nedefinované) Γ ( 1 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\,} = π {\displaystyle ={\sqrt {\pi }}\,} Γ ( 1 ) {\displaystyle \Gamma (1)\,} = 0 ! = 1 {\displaystyle =0!=1\,} Γ ( 3 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)\,} = π 2 {\displaystyle ={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\,} Γ ( 2 ) {\displaystyle \Gamma (2)\,} = 1 ! = 1 {\displaystyle =1!=1\,} Γ ( 5 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\frac {5}{2}}\right)\,} = 3 π 4 {\displaystyle ={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}\,} Γ ( 3 ) {\displaystyle \Gamma (3)\,} = 2 ! = 2 {\displaystyle =2!=2\,} Γ ( 7 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\frac {7}{2}}\right)\,} = 15 π 8 {\displaystyle ={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}\,} Γ ( 4 ) {\displaystyle \Gamma (4)\,} = 3 ! = 6 {\displaystyle =3!=6\,} lim z → 0 + Γ ( z ) {\displaystyle \lim _{z\to 0+}\Gamma (z)\,} = + ∞ {\displaystyle =+\infty \,} lim z → + ∞ Γ ( z ) {\displaystyle \lim _{z\to +\infty }\Gamma (z)\,} = + ∞ {\displaystyle =+\infty \,}
Referencie 
budeme mať:
