Binárna operácia

Binárnymi operáciami sú také základné operácie ako sčítanie na celých číslach (dvom sčítavaným číslam sa priraďuje tretie - ich súčet), operácia násobenia na racionálnych či reálnych číslach (dvom násobeným číslam sa priraďuje tretie - ich násobok). Delenie na racionálnych či reálnych číslach však nie je binárnou operáciou, pretože delenie nulou nie je definované, inak by bola definícia binárnej operácie aj pri delení splnená.

V ďalšom texte budeme uvažovať binárnu operáciu ${\displaystyle \circ }$ definovanú na množine M.

Hovoríme, že ${\displaystyle e}$ je neutrálnym prvkom binárnej operácie ${\displaystyle \circ }$ na množine M, ak platí${\displaystyle \forall a\in M:a\circ e=e\circ a=a}$ .

V poliach sa neutrálnemu prvku aditívnej operácie hovorí nula a neutrálnemu prvku multiplikatívnej operácie jednotka.

Ľahko sa ukáže, že každá binárna operácia môže mať nanajvýš jeden neutrálny prvok.

Binárna operácia ${\displaystyle \circ }$ na množine M sa nazýva asociatívna, ak${\displaystyle \forall a,b,c\in M:(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$ .

Príklad: Operácie sčítania a násobenia celých alebo reálnych čísel sú asociatívne operácie. Odčítanie na týchto množinách nie je asociatívne.

Matematickou indukciou sa ľahko dokáže rozšírenie, že pri asociatívych operáciach nezáleží na poradí uzátvorkovania viacerých činiteľov.

Nech ${\displaystyle e\in M}$ je neutrálny prvok operácie ${\displaystyle \circ }$ . Hovoríme, že prvok ${\displaystyle b\in M}$ je inverzný k prvku ${\displaystyle a\in M}$ , ak ${\displaystyle a\circ b=b\circ a=e}$ .

Pre ľubovoľnú asociatívnu binárnu operáciu s neutrálnym prvkom platí, že ku každému prvku existuje najviac jeden inverzný prvok.^[1]