Skalarni proizvod vektora je binarna operacija koja kao argumente uzima dva vektora a rezultat joj je skalar . Ako su ova dva vektora a i b iz vektorskog prostora V , zapis ove operacije je sledeći:
( a , b ) ↦ a ⋅ b {\displaystyle (a,b)\mapsto a\cdot b} Skalarnim proizvodom se zove svako preslikavanje koje ima sledeće osobine:
( u + v ) ⋅ w = u ⋅ w + v ⋅ w {\displaystyle (u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w} ( α u ) ⋅ v = α ( u ⋅ v ) {\displaystyle (\alpha u)\cdot v=\alpha (u\cdot v)} u ⋅ v = v ⋅ u {\displaystyle u\cdot v=v\cdot u} u ≠ 0 ⇒ u ⋅ u > 0 {\displaystyle u\neq 0\Rightarrow u\cdot u>0} Pri čemu su u , v i w vektori iz V a α proizvoljan realan broj .
Prikaz standardnog skalarnog proizvoda vektora Skalarni proizvod vektora x → {\displaystyle {\vec {x}}} i y → {\displaystyle {\vec {y}}} se definiše na sledeći način:
x → ⋅ y → = | x → | | y → | cos ∡ ( x → , y → ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x n y n {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\,|{\vec {y}}|\,\cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)=x_{1}\,y_{1}+x_{2}\,y_{2}+\ldots +x_{n}\,y_{n}} Pri tom su | x → | {\displaystyle |{\vec {x}}|} i | y → | {\displaystyle |{\vec {y}}|} intenziteti tih vektora , određenih sledećim koordinatama :
x → = ( x 1 , x 2 , … x n ) {\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots x_{n})} i y → = ( y 1 , y 2 , … y n ) {\displaystyle {\vec {y}}=(y_{1},y_{2},\dots y_{n})} Primer skalarnog množenja vektora (1, 3, −5) i (4, −2, −1) u trodimenzionalnom prostoru:
( 1 , 3 , − 5 ) ⋅ ( 4 , − 2 , − 1 ) = 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ ( − 2 ) + ( − 5 ) ⋅ ( − 1 ) = 4 − 6 + 5 = 3 {\displaystyle {\begin{aligned}&(1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)\\&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}} Formula : x → ⋅ y → = | x → | ⋅ | y → | ⋅ cos ∡ ( x → , y → ) {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\cdot |{\vec {y}}|\cdot \cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)} se može dokazati posmatranjem dva vektora sa zajedničkim početkom i njihove razlike:
Ako je γ {\displaystyle \gamma } , ugao između dva vektora čiji skalarni proizvod treba pronaći, korišćenjem kosinusne teoreme može se pisati:
| c → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 − 2 | a → | | b → | ⋅ cos γ {\displaystyle |{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }} Pošto je c → {\displaystyle {\vec {c}}} jednak b → − a → {\displaystyle {\vec {b}}-{\vec {a}}} , sledi:
| b → − a → | 2 = | a → | 2 + | b → | 2 − 2 | a → | | b → | ⋅ cos γ {\displaystyle |{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }} Odakle se nalazi:
( b → − a → ) ⋅ ( b → − a → ) = a → ⋅ a → + b → ⋅ b → − 2 | a → | | b → | ⋅ cos γ {\displaystyle \left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)\cdot \left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }} b → ⋅ b → − 2 a → ⋅ b → + a → ⋅ a → = a → ⋅ a → + b → ⋅ b → − 2 | a → | | b → | ⋅ cos γ {\displaystyle {\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }} Odatle se dobija konačna formula:
a → ⋅ b → = | a → | | b → | ⋅ cos γ . {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }.} Zamenom vrednosti ugla u prethodnoj formuli za slučaj da su vektori x → {\displaystyle {\vec {x}}} i y → {\displaystyle {\vec {y}}} uzajamno normalni dobija se:
x → ⋅ y → = 0 {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0} .Ova osobina je često korisna za dokazivanje da su vektori uzajamno normalni, jer je za to dovoljno i neophodno da im skalarni proizvod bude jednak nuli.
Skalarni proizvod vektora poseduje sledeće osobine:
a → ⋅ b → = b → ⋅ a → {\displaystyle {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}={{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}}
( a → + b → ) ⋅ c → = a → ⋅ c → + b → ⋅ c → {\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}}
( α a → ) ⋅ b → = a → ⋅ ( α b → ) = α a → ⋅ b → {\displaystyle (\alpha {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot (\alpha {\vec {b}})=\alpha {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}
Korišćenje za izračunavanje intenziteta vektora uredi kod Korišćenjem skalarnog proizvoda vektora može se izvesti formula za intenzitet vektora.
Pošto je:
x → ⋅ y → = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}={x_{1}}{y_{1}}+{x_{2}}{y_{2}}+\dotsb +{x_{n}}{y_{n}}.} Za specijalan slučaj kada je x → = y → {\displaystyle {\vec {x}}={\vec {y}}} jednakost prelazi u: x → ⋅ x → = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + ⋯ + x n 2 {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {x}}={x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}}
Na osnovu toga se zaključuje: | x → | = x → ⋅ x → = x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 . {\displaystyle |{\vec {x}}|={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}={\sqrt {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}}}.} Ovaj obrazac predstavlja formulu za izračunavanje intenziteta vektora.
Pošto su sami vektori primenjivi u fizici i skalarni proizvod vektora nalazi primenu u njoj.Tako se na primer rad definiše kao skalarni proizvod vektora sile i vektora pomeraja :
A = F → ⋅ r → = | F → | ⋅ | r → | ⋅ cos α {\displaystyle A={\vec {F}}\cdot {\vec {r}}=|{\vec {F}}|\cdot |{\vec {r}}|\cdot \cos \alpha } Pošto je poznato da je skalarni proizvod dva vektora i proizvod njihovog intenziteta sa uglom između njih, može se inverznom operacijom izračunati i ugao.
a → ⋅ b → = | a → | | b → | cos θ {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\cos \theta \,} ⟹ {\displaystyle \Longrightarrow } θ = arccos ( a → ⋅ b → | a → | | b → | ) . {\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}\right).} Vektor Skalar Vektorski proizvod vektora Mešoviti proizvod vektora Jovan D. Kečkić. Matematika sa zbirkom zadataka za srednje škole. Zavod za udžbenike. 2008.godina. Beograd