Furijeov red

Uzmimo neku periodičnu funkciju ${\displaystyle f(t)\,}$ sa periodom T, za koju važi ${\displaystyle f(t+T)=f(t)\,}$ .Zbog periodičnosti možemo da je razdelimo na N sinus i kosinus funkcija:

${\displaystyle f(t)=A_{0}+A_{1}\cos(\omega t+\varphi _{1})+A_{2}\cos(2\omega t+\varphi _{2})+\ldots +A_{N}\cos(N\omega t+\varphi _{N})=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cos(n\omega t+\varphi _{n}).}$ , ${\displaystyle \omega :=2\cdot \pi \cdot freq}$ , gde je ${\displaystyle freq}$ osnovna frekvencija, odnosno harmonik.

Treba imati na umu da je sinus samo kosinus sa faznim pomerajem:

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cos(n\omega t+\varphi _{n})=A_{0}+\sum _{n=1}^{N}(A_{n}\cos \varphi _{n}\cdot \cos(n\omega t)-A_{n}\sin \varphi _{n}\cdot \sin(n\omega t))}$

Kada definišemo ${\displaystyle a_{0}:=A_{0}\,}$ , a potom ${\displaystyle a_{n}:=A_{n}\cos \varphi _{n}}$ i ${\displaystyle b_{n}:=A_{n}\sin \varphi _{n}}$ dobijamo isti izraz, ovog puta bez faze:

${\displaystyle f(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}(a_{n}\cos(n\omega t)-b_{n}\sin(n\omega t)).}$

Zašto se ne uzima tan ili recimo cosh? Zašto baš cos i sin? Razlog je ortogonalnost sin i cos funkcija. ${\displaystyle cos(t)\cdot sin(t)=\int _{0}^{2\pi }cos(t)\cdot sin(t){d}t=0}$

Ideja iza furijeove transformacije je sledeća: ceo prostor koji ima „normalne“ ose transformišemo u prostor u kome su nove ortogonalne ose kosinus i sinus talasi i njihovi viši harmonici. Signal koji transformišemo je samo jedna tačka (mesni vektor), a vrednosti na svakoj osi su amplitude svakog harmonika pojedinačno (${\displaystyle [A_{0},\ldots ,A_{N}]}$ ).

Sada se uključuje Ojlerov identitet uz pomoć koga ove trigonometrijske funkcije možemo da zamenimo kompleksnim pandanima:

${\displaystyle \cos(x)={\frac {1}{2}}\left(e^{\mathrm {i} x}+e^{-\mathrm {i} x}\right)}$ i ${\displaystyle \sin(x)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(e^{\mathrm {i} x}-e^{-\mathrm {i} x}\right)}$

Iz toga dalje sledi

${\displaystyle f(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left(a_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}+e^{-\mathrm {i} n\omega t})-{1 \over \mathrm {i} }b_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}-e^{-\mathrm {i} n\omega t})\right)}$

${\displaystyle =a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left(a_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}+e^{-\mathrm {i} n\omega t})+\mathrm {i} b_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}-e^{-\mathrm {i} n\omega t})\right)}$

${\displaystyle =a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left((a_{n}+\mathrm {i} b_{n})e^{\mathrm {i} n\omega t}+(a_{n}-\mathrm {i} b_{n})e^{-\mathrm {i} n\omega t}\right)}$

Zamenimo realne koeficijente kompleksnim:

${\displaystyle c_{0}:=a_{0}\,}$ , ${\displaystyle c_{n}:={\frac {1}{2}}(a_{n}+\mathrm {i} b_{n})}$ i ${\displaystyle c_{-n}:={\frac {1}{2}}(a_{n}-\mathrm {i} b_{n})={\overline {c_{n}}}}$

dobijamo sumu sa negativnim indeksima:

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-N}^{N}c_{k}e^{\mathrm {i} k\omega t}}$

Takođe, ne treba gubiti iz vida da su ${\displaystyle e^{\mathrm {i} jt}}$ funkcije isto ortonormalne baze (svaki vektor koji predstavlja osu ima dužinu 1 i normalan je u odnosu na sve ostale vektore):

U slučaju ${\displaystyle j=k}$

${\displaystyle (e^{\mathrm {i} jt},e^{\mathrm {i} jt})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}{\overline {e^{\mathrm {i} jt}}}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}e^{-\mathrm {i} jt}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }1dt=1}$

A za ${\displaystyle j\neq k}$ važi:

${\displaystyle (e^{\mathrm {i} jt},e^{\mathrm {i} kt})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}{\overline {e^{\mathrm {i} kt}}}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}e^{-\mathrm {i} kt}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} (j-k)t}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} (j-k)}}\left[e^{\mathrm {i} (j-k)t}\right]_{0}^{2\pi }={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} (j-k)}}\left(e^{\mathrm {i} (j-k)2\pi }-1\right)=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} (j-k)}}\cdot 0=0}$

No, želimo sada da neku periodičnu i neprekidnu funkciju približno izračunamo uz pomoć sume trigonometrijskih funkcija (konkretno: kosinusa i sinusa). Videli smo kako možemo da dođemo do ${\displaystyle c_{j}}$ ; gornju jednačinu množimo sa ${\displaystyle e^{-\mathrm {i} m\omega t}}$ i naposletku integrišemo sa obe strane po intervalu [0,T] odnosno u trajanju jedne periode:

${\displaystyle e^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\left(e^{\mathrm {i} (n\omega t)}e^{-\mathrm {i} m\omega t}\right)=\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}e^{\mathrm {i} (n+m)\omega t-\mathrm {i} m\omega t}=\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}e^{\mathrm {i} n\omega t}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \int _{0}^{T}e^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)dt=\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt}$

Za integrale sa desne strane važi:

kada je n=0: ${\displaystyle \int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} 0\omega t}dt=\int _{0}^{T}e^{0}=\left[1\right]_{0}^{T}=T}$

a kada je n≠0: ${\displaystyle \int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt=\left[{\frac {1}{\mathrm {i} n\omega }}e^{\mathrm {i} n\omega t}\right]_{0}^{T}}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{\mathrm {i} n\omega }}(e^{\mathrm {i} n\omega T}-1)}$

Iz ${\displaystyle \omega T=2\pi }$ sledi ${\displaystyle e^{\mathrm {i} n\omega T}=(e^{2\pi \mathrm {i} })^{n}=1}$ , a to dalje možemo da primenimo na gore navedeni integral:

${\displaystyle \int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt=0}$

Na kraju se cela računica uprošćava:

${\displaystyle \int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} m\omega t}dt=\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt}$

${\displaystyle =\sum _{n=-N-m}^{-1}c_{n+m}\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt+c_{m}\cdot \int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} 0\omega t}dt+\sum _{n=1}^{N-m}c_{n+m}\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt}$

${\displaystyle =0+c_{m}T+0=c_{m}T=\int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} m\omega t}dt}$

${\displaystyle \Leftrightarrow c_{m}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} m\omega t}dt.}$

U celom računu neka nas ne zbunjuje korišćenje promenljive ${\displaystyle m}$ , njena svrha je puko uprošćavanje jednačine. Sve je stoga samo dosetljivost, odnosno umetnost kako napisati jedno te isto na drugačiji način.

Na kraju, Furijeov red definišemo:

${\displaystyle f_{N}(t)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{in\omega t}}$

Furijeov red konvergira ka mnogim funkcijama; tu spadaju pored ostalih sve funkcije koje imaju izvod ili su kvadratno integrabilne (L² prostor).

Pretpostavimo da je ${\displaystyle f(t)}$ jedna takva funkcija. Kada namestimo ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ , onda ona takođe može da se napiše i ovako:

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{\mathrm {i} n\omega t}=\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{T}}(\int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} n\omega t}dt)\cdot e^{\mathrm {i} n\omega t}=\sum _{n=-N}^{N}{\frac {e^{\mathrm {i} n\omega t}}{T}}\cdot \int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} n\omega t}dt}$

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {e^{\mathrm {i} n\omega t}}{T}}\cdot \int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} n\omega t}dt}$

• Dualnost po Pontrjaginu