Отрезок

В евклидовом пространстве отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются концами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , обозначается символом ${\displaystyle AB}$ . Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают ${\displaystyle AB}$ или ${\displaystyle |AB|}$ .

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BA}$ представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным, или вектором. Например, направленные отрезки ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BA}$ не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.

Это приводит к понятию свободного вектора — класса всех возможных векторов, отличающихся друг от друга только параллельным переносом, которые принимаются равными.

Отрезок числовой (координатной) прямой (иначе числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел ${\displaystyle \{x\}}$ , удовлетворяющих неравенству ${\displaystyle a\leq x\leq b}$ , где заранее заданные вещественные числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a<b)}$ называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа ${\displaystyle x}$ , удовлетворяющие неравенству ${\displaystyle a<x<b}$ , называются внутренними точками отрезка^[1].

Отрезок обычно обозначается ${\displaystyle [a,b]}$ :

${\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}$ .

Любой отрезок, по определению, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число ${\displaystyle |a-b|=b-a}$ называется длиной числового отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ .

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой ${\displaystyle \{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \land a<b\}}$ .

Система сегментов обозначается ${\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }}$ . Подразумевается, что каждому натуральному числу ${\displaystyle n}$ поставлен в соответствие отрезок ${\displaystyle [a_{n},b_{n}]}$ .

Система сегментов ${\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }}$ называется стягивающейся, если^[2]

• каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;

  ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_{n},b_{n}]}$

• соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0}$

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

${\displaystyle \forall \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }~\exists !c\in \mathbb {R} ~\forall n\in N\colon c\in [a_{n},b_{n}],}$ где ${\displaystyle \forall }$ — квантор всеобщности.

Этот факт следует из свойств монотонной ограниченной последовательности^[3].

• Интервал
• Промежуток
• Алгоритмы построения отрезка
• Прямая