Фазовое пространство

Как правило, выбирают пространства с евклидовой метрикой, используя либо декартову, либо полярную систему координат.

Для систем с одной степенью свободы фазовое пространство вырождается в фазовую плоскость.

При помощи уравнений траектории в фазовом пространстве (фазовой плоскости) для исследуемой системы строят интегральные кривые, — то есть кривые в фазовом пространстве такие, что в каждой их точке касательная имеет наклон, задаваемый уравнением траектории. Геометрическое построение интегральных кривых называют «качественным интегрированием уравнений».^[2]

Понятия «интегральная кривая» и «фазовая траектория» в общем случае следует различать, «так как может случиться, что одна интегральная кривая состоит не из одной, а сразу из нескольких фазовых траекторий».^[3]

Картину кривых в фазовом пространстве (на фазовой плоскости) можно описать:

• либо одним уравнением — в координатной форме, то есть при помощи уравнений, которые не содержат времени, — и изучать с его помощью интегральные кривые,
• либо описывать системой уравнений в параметрической форме, — где независимая переменная ${\displaystyle t}$ , время, выполняет роль параметра — и изучать фазовые траектории.^[4]

Необходимость различения этих двух способов изображения одного и того же семейства кривых^[англ.] можно продемонстрировать на примере простейшей консервативной системы, описываемой уравнением ${\displaystyle {\ddot {x}}=f(x)}$ : в этом случае для особой точки условия теоремы Коши окажутся нарушенными при рассмотрении координатного уравнения, но будут выполнены для уравнения, записанного в параметрической форме.^[4]

Целой фазовой траекторией называют ту кривую в фазовом пространстве, которую описывает изображающая точка за всё время своего движения (от ${\displaystyle t=-\infty }$ до ${\displaystyle t=+\infty }$ ).^[3]

Фазовый портрет исследуемой системы — это совокупность фазовых траекторий для всевозможных начальных условий.^[3] Его можно рассматривать как интегральное многообразие^[англ.].^{[A: 3]}

Поскольку при изучении поведения системы интересуются прежде всего стационарными движениями в системе,^[2] то фазовый портрет можно также рассматривать как разбиение фазового пространства на области притяжения стационарных решений.^{[A: 1]}

Классификацию характера особых точек системы уравнений можно провести на основании особенностей фазового портрета, поскольку как минимум для некоторых систем каждая особая точка системы дифференциальных уравнений является также и особой точкой в смысле, употребляемом в дифференциальной геометрии.^[4]

Ф.п. обычно как-то деформируется при изменении параметров системы. Качественному изменению ф.п. соответствует исчезновение существующих и рождение новых стационарных решений, — и такое изменение ф.п. называют бифуркационной ситуацией.^{[A: 1]}

Для удобства, изучение фазового портрета системы разделяют^[4] на исследование характера движений системы:

• вблизи состояний равновесия,
• на всей фазовой плоскости.

При изучении фазового портрета интересует прежде всего общая топологическая картина движений на фазовой плоскости.^[4]

Фазовая скорость — скорость изменения состояния системы; она соответствует скорости движения изображающей точки в фазовом пространстве.^[4]

Для вычисления величины фазовой скорости вводят понятие «фазовый радиус-вектор», как это делается в классической механике.^[3]

К примеру, для простейшей консервативной системы, описываемой уравнением ${\displaystyle {\ddot {x}}=f(x)}$ , скорость изображающей точки вычисляется как:

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {i} y+\mathbf {j} f(x)}$

и будет всюду определена однозначно, и обращается в ноль только в особой точке.^[4] Модуль фазовой скорости в этом случае будет вычисляться как:

${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}={\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}={\sqrt {y^{2}+\left[f(x)\right]^{2}}}}$ ,

где:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=y}$ и ${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(x)}$ .

Вычисление фазовой скоростью даёт возможность более точно прослеживать изменения в системе. Так, к примеру, в случае бифуркации седло—узел можно обнаружить область состояний системы, в которой происходит значительное уменьшение модуля фазовой скорости.^{[A: 1]}

В классической механике фазовыми пространствами служат гладкие многообразия. В случае механических систем это пространство чётной размерности, координатами в котором являются обычные пространственные координаты (или обобщённые координаты) частиц системы и их импульсы (или обобщённые импульсы). Кроме того, в механике движение изображающей точки определяется сравнительно простыми уравнениями Гамильтона, анализ которых позволяет делать заключения о поведении сложных механических систем.^[5]

Например, фазовое пространство для системы, состоящей из одной свободной материальной точки, имеет 6 измерений, три из которых — это три обычные координаты, а ещё три — это компоненты импульса. Соответственно, фазовое пространство для системы из двух свободных материальных точек будет содержать 12 измерений и т. д.

В термодинамике и статистической механике термин «фазовое пространство» имеет два значения: 1) он используется в том же смысле, что и в классической механике; 2) он может также относиться к пространству, которое параметризуется макроскопическими состояниями системы, такими как давление, температура и т. д.

В теории динамических систем и теории дифференциальных уравнений фазовое пространство является более общим понятием.

Если взять в рассмотрение несколько одинаковых систем, надо задать несколько точек в фазовом пространстве. Совокупность таких систем называют статистическим ансамблем.

Понятие фазового пространства широко используется в разных областях физики.^{[B: 1][B: 2]} Весьма полезным оно оказалось для изучения феноменов бифуркационной памяти.^{[A: 1]}

Простейшая автономная колебательная система получила название «гармонический осциллятор»; её динамика описывается линейным дифференциальным уравнением вида:

${\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.}$

Такая система совершает периодические синусоидальные (гармонические) движения; колебательное движение не возникает лишь в случае ${\displaystyle x_{0}=0}$ и ${\displaystyle {\dot {x}}_{0}=0}$ , то есть когда осциллятор в начальный момент находится в состоянии равновесия — в этом случае он продолжает и дальше в нём оставаться. Координатное уравнение фазовой траектории такой системы задаёт интегральные кривые в виде семейства подобных (с постоянным соотношением осей) эллипсов, причём через каждую точку ф.п. проходит один и только один эллипс. Указанное состояние равновесия является особой точкой этой системы, — а именно центром.^[3]

Фазовое пространство состояний квантового осциллятора позволяет описать квантовый шум усилителя в терминах неопределённостей эрмитовой и анти-эрмитовой компонент поля; при этом не требуется предположение о линейности преобразования фазового пространства, осуществляемого усилителем.^{[A: 4]} Производные передаточной функции усилителя определяют ограничение снизу на уровень квантового шума. Грубо говоря, чем более сложным является преобразование, тем больше квантовый шум.

Фазовое пространство позволяет построить единый формализм для классической и квантовой механики.^{[A: 5]} Оператор эволюции формулируется в терминах скобки Пуассона; в квантовом случае эта скобка является обычным коммутатором. При этом классическая и квантовая механика строятся на одних и тех же аксиомах; они формулируются в терминах, которые имеют смысл как в классической, так и в квантовой механике.

Классическими примерами фазовых диаграмм из теории хаоса являются:

• Аттрактор Лоренца
• Рост населения (то есть логистическое отображение)
• Параметрическая плоскость комплексных квадратичных многочленов^[англ.] с множеством Мандельброта.

Фазовое пространство широко используется в неизображающей оптике^[англ.],^{[B: 3]} — ответвление оптики, посвящённое освещению и солнечным батареям. Это также важное понятие в гамильтоновой оптике^[англ.].

• Книги

• Статьи

• Определения этого понятия см. также в словарях:
  • Большая советская энциклопедия.
  • Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
  • Физическая энциклопедия.
  • Экономико-математический словарь.
• В интернет-портале «Физическая энциклопедия» см. статьи, уточняющие понятие ф.п. в статистической физике и ф.п. в теории динамических систем.
• State space В Scholarpedia.org (англ.)