Участник:Men4il/История алгебры

Слово "алгебра" происходит от арабского слова الجبر al-jabr, взятого из трактата, написанного в 830 году средневековым персидским математиком, Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми, арабское название которого Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala можно перевести как Компендиум по вычислению путем завершения и уравновешивания. В трактате приводилось систематическое решение линейных и квадратных уравнений. Согласно одному из исторических источников: "нельзя точно сказать, что подразумевается под терминами аль-джабр и мукабала, но обычно трактовка схожа с той, что подразумевается в предыдущем переводе. Слово 'аль-джабр предположительно означает нечто вроде "восстановление" или "завершение" и, по-видимому, относится к переносу вычитаемых членов на другую сторону уравнения; слово 'мукабала', как говорят, относится к 'уменьшению' или 'уравновешиванию', то есть к аннулированию подобных членов на противоположных сторонах уравнения". Влияние арабского языка в Испании спустя долгое время после аль-Хорезми обнаруживается в 'Дон Кихоте', где слово 'algebrista' используется для обозначения костоправа, то есть 'восстановителя'^[1]. Термин используется аль-Хорезми для описания введенных им операций "редукции" и "уравновешивания", означающих перенос вычитаемых членов на другую сторону уравнения, что означает отмену подобных терминов на противоположных сторонах уравнения^[2].

Алгебра не всегда использовала символизм, который сегодня повсеместно распространён в математике; вместо этого она прошла три различных этапа. Этапы развития символьной алгебры примерно следующие:^[3].

• Риторическая алгебра, в которой уравнения записываются полными предложениями. Например, риторическая форма выражения ${\displaystyle x+1=2}$ - это "Вещь плюс один равна двум" или, возможно, "Вещь плюс 1 равна 2". Риторическая алгебра была впервые разработана древними вавилонянами и оставалась доминирующей вплоть до XVI века.
• Синкопированная алгебра, в которой используется некоторая символика, но которая не содержит всех характеристик символической алгебры. К примеру, может существовать ограничение на то, что вычитание может использоваться лишь один раз в пределах одной стороны уравнения, что не является таковым в символической алгебре. Синкопированное алгебраическое выражение впервые появилось в Диофантовой "Арифметика" (3 век н.э.), затем в Брахмагуптовом Брахма-спхута-сиддханта (7 век).
• Символическая алгебра, которая использует полный символизм. Первые шаги в этом направлении можно увидеть в работах нескольких исламских математиков, таких как Ибн аль-Банна аль-Марракуши (13-14 века) и Аль-Каласади (15 век), несмотря на то, что полностью символическая алгебра была разработана Франсуа Виетом (16 век). Позже Рене Декарт (17 век) ввёл современные обозначения (например, использование символа x -см. ниже) и показал, что задачи, возникающие в геометрии, могут быть выражены и решены в терминах алгебры (аналитической геометрии).

Не менее важным, нежели использование или недостаток символики в алгебре, была также степень уравнений, которые решались. Квадратные уравнения играли важную роль в ранней алгебре; и на протяжении большей части истории, вплоть до раннего нового времени, все квадратные уравнения классифицировались как принадлежащие к одному из трех категорий.

• ${\displaystyle x^{2}+px=q}$
• ${\displaystyle x^{2}=px+q}$
• ${\displaystyle x^{2}+q=px}$

где ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ положительные.Эта трихотомия возникает по причине того, что квадратные уравнения вида ${\displaystyle x^{2}+px+q=0,}$ с положительными ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ не имеют положительных корней.^[4].

Между риторической и синкопированной стадиями символической алгебры классическими греки и ведические индийские математики разработали геометрическую конструктивную алгебру, в которой алгебраические уравнения решались при помощи геометрии. Так, например, уравнение вида ${\displaystyle x^{2}=A}$ решалось путем нахождения стороны квадрата площадью ${\displaystyle A.}$ .

В дополнение к трем стадиям изложения алгебраических идей, некоторые авторы признавали четыре концептуальные стадии в развитии алгебры, которые происходили параллельно с изменениями в выражении. Эти четыре стадии были следующими:^[5]

• Геометрическая стадия, где понятия алгебры в основном геометрические. Она восходит к вавилонянянам и продолжается вплоть до греков, и позже была возрождена Омар Хайямом.
• Стадия решения статических уравнений, где целью является нахождение чисел, удовлетворяющих определенным соотношениям. Отход от геометрической стадии восходит к временам Диофанта и Брахмагупты, но алгебра решительно не переходила к статической стадии решения уравнений, пока Аль-Хорезми не представил обобщенные алгоритмические процессы для решения алгебраических задач.
• Стадия динамической функции, где движение является основополагающей идеей. Идея функции начала зарождаться с Шарафуддин аль-Музаффар ибн Мухаммад ат-Туси, но алгебра решительно перешла к стадии динамической функции только после Готфрид Лейбниц.
• Абстрактная стадия, где основную роль играет математическая структура. Абстрактная алгебра в значительной степени является плодом 19-го и 20-го веков.

.

Истоки алгебры можно отнести к древним вавилонянам^[6], которые разработали позиционную систему счисления, которая значительно помогла им в решении их риторических алгебраических уравнений. Вавилоняне были более заинтересованы не в точных, а скорее приближенных решениях, поэтому они обычно использовали линейную интерполяцию для приближения промежуточных значений. ^[7] Одна из самых известных табличек - Plimpton 322 tablet, созданная около 1900-1600 до н.э., которая дает таблицу пифагоровых троек и представляет собой одни из самых передовых математических знаний до возникновения греческой математики.^[8]

Вавилонская алгебра была гораздо более развитой, в сравнении с египетской алгеброй того времени; если египтяне занимались в основном линейными уравнениями, то вавилоняне больше занимались квадратичными и кубическими уравнениями. ^[7] Вавилоняне разработали гибкие алгебраические операции, при помощи которых они могли складывать равенства друг с другом и умножать обе части уравнения на одинаковые величины так, чтобы исключить дроби и коэффициенты. ^[7] Они были знакомы со многими простыми формами факторизации^[7] трехчленных квадратных уравнений с положительными корнями,^[9] и многих кубических уравнених,^[10] хотя достоверно неизвестно, смогли ли они привести общее кубическое уравнение к каноническому виду.^[10]

.

Алгебра Древнего Египта имела дело в основном с линейными уравнениями, в то время как вавилоняне сочли эти уравнения слишком элементарными и развили математику до более высокого уровня, нежели египтяне.^[7].

Папирус Ринда, также известный как Папирус Ахмеса, - древнеегипетский папирус, написанный около 1650 г. до н.э. Ахмесом, который переписал его с более ранней работы, датированной им 2000-1800 г. до н.э.^[11] Это самый обширный древнеегипетский математический документ, известный историкам.^[12]. Папирус Ринда содержит задачи, в которых решаются линейные уравнения вида ${\displaystyle x+ax=b}$ и ${\displaystyle x+ax+bx=c}$ , где ${\displaystyle a,b,}$ и ${\displaystyle c}$ известны, а ${\displaystyle x,}$ , называемый "аха" или куча, является неизвестным. ^[13] Решения, возможно, находились при помощи "метода ложного положения", или regula falsi, когда сначала в левую часть уравнения подставляется конкретное значение, затем производятся необходимые арифметические вычисления, в-третьих, результат сравнивается с правой частью уравнения, и, наконец, правильный ответ находится при помощи пропорций. В некоторых задачах автор "проверяет" свое решение, составляя таким образом одно из самых ранних известных простых доказательств.^[13].

.

Иногда утверждается, что у греков не было алгебры, однако это неверно.^[15]. Ко временам Платона греческая математика подверглась радикальным изменениям. Греки создали геометрическую алгебру, где термины представлялись сторонами геометрических объектов,^[16] обычно линии, которые имели связанные с ними буквы,^[17] и с этой новой формой алгебры они смогли находить решения уравнений с помощью изобретенного ими процесса, известного как "The Application of Areas".^[16] "The application of areas" - лишь часть геометрической алгебры, и она подробно рассмотрена в Евклидовом Начала.

Примером геометрической алгебры может служить решение линейного уравнения ${\displaystyle ax=bc.}$ Древние греки решали это уравнение, рассматривая его как равенство площадей, а не как равенство между соотношениями ${\displaystyle a:b}$ и ${\displaystyle c:x.}$ Греки строили прямоугольник со сторонами длиной ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c,}$ затем удлиняли сторону прямоугольника до длины ${\displaystyle a,}$ и, наконец, достраивали удлинённый прямоугольник, чтобы найти сторону прямоугольника, которая и является решением.^[16].

Ямвлих в Introductio arithmatica говорит, что Тимарид (в. 400 до н. э.  350 до н. э.) работал с системами линейных уравнений.^[18] В частности, он создал знаменитое в то время правило, известное как "цветение Тимарида" или "цветок Тимарида", которое гласит, что:

Если дана сумма ${\displaystyle n}$ величин, а также сумма каждой пары, содержащей конкретную величину, то эта конкретная величина равна ${\displaystyle 1/(n-2)}$ разности между суммами этих пар и первой данной суммой.^[19]

или, используя современные обозначения, решение следующей системы ${\displaystyle n}$ линейных уравнений в ${\displaystyle n}$ неизвестных,^[18]

${\displaystyle x+x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}=s}$
${\displaystyle x+x_{1}=m_{1}}$
${\displaystyle x+x_{2}=m_{2}}$
${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle x+x_{n-1}=m_{n-1}}$

это

${\displaystyle x={\cfrac {(m_{1}+m_{2}+...+m_{n-1})-s}{n-2}}={\cfrac {(\sum _{i=1}^{n-1}m_{i})-s}{n-2}}.}$

Далее Ямвлих описывает, как некоторые системы линейных уравнений, которые не имеют такой формы, могут быть приведены к этой форме.^[18].

.

Евклид (С греческого: Εὐκλείδης) был греческим математиком, который прославился в Александрии, Египет, почти наверняка во время правления Птолемея I (323-283 до н.э.). ^[20][21]. Ни год, ни место его рождения^[20] не установлены, как и обстоятельства его смерти.

Евклид считается "отцом геометрии". Его Начала является самым успешным учебником в истории математики.^[20] Несмотря на то, что он является одним из самых известных математиков в истории, ему не приписывают новых открытий; вместо этого его помнят за его большие способности к объяснению.^[22] "Начала" не являются, как порой считается, собранием всех греческих математических знаний на сегодняшний день; скорее, это элементарное введение в них.^[23].

Геометрические работы греков, представленные в "Началах" Евклида, заложили основу для обобщения формул, не ограничиваясь решением конкретных задач, в более общие системы постановки и решения уравнений.

Книга II "Начала" содержит четырнадцать предложений, которые во времена Евклида были чрезвычайно важны для геометрической алгебры. Эти предложения и их результаты являются геометрическими эквивалентами нашей современной символьной алгебры и тригонометрии.^[24] На сегодняшний день, используя современную символьную алгебру, можно обозначать символами известные и неизвестные величины (т.е. числа), а затем применять алгебраические методы. В то время как во времена Евклида величины рассматривались как отрезки прямых, а результаты выводились с помощью аксиом или теорем геометрии.^[24]

Многие основные законы сложения и умножения включены или доказаны геометрически в "Начала". Например, предложение 1 книги II гласит:

Если имеются две прямые и одна из них разрезана на любое число отрезков, то прямоугольник, образуемый этими двумя прямыми, равен прямоугольникам, образуемым неразрезанной прямой и каждым из отрезков.

Однако это не более чем геометрическая версия (левого) распределительного закона, ${\displaystyle a(b+c+d)=ab+ac+ad}$ ; а в книгах V и VII "Начала" демонстрируются коммутативный и ассоциативный законы умножения.^[24].

Многие основные уравнения также были доказаны геометрически. Так, например, предложение 5 в Книге II доказывает, что ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b),}$ ^[25], а предложение 4 в книге II доказывает, что ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.}$ ^[24].

Более того, для многих уравнений существуют геометрические решения. Например, предложение 6 Книги II даёт решение квадратного уравнения ${\displaystyle ax+x^{2}=b^{2},}$ а предложение 11 Книги II даёт решение ${\displaystyle ax+x^{2}=a^{2}.}$ ^[26].

Данные - это работа, написанная Евклидом для использования в школах Александрии и предназначенная для использования в качестве дополнения к первым шести книгам Начала. Книга содержит около пятнадцати определений и девяносто пяти утверждений, около двух десятков из них служат алгебраическими правилами или формулами.^[27] Некоторые из этих утверждений являются геометрическими эквивалентами решений квадратичных уравнений. ^[27] Например, Данные содержит решения уравнений ${\displaystyle dx^{2}-adx+b^{2}c=0}$ и знакомого вавилонского уравнения ${\displaystyle xy=a^{2},x\pm y=b.}$ ^[27].

Коническое сечение - это кривая, которая получается в результате пересечения пересечения конуса с плоскостью. Существует три основных типа конических сечений: эллипсы (включая окружности), параболы и гиперболы. Считается, что конические сечения были открыты Менехмом^[28] (в. 380 до - ок. 320 до н.э.), и поскольку работа с коническими сечениями эквивалентна работе с соответствующими уравнениями, они играли геометрические роли, эквивалентные кубическим уравнениям и другим уравнениям высшего порядка.

Менехм знал, что в параболе выполняется уравнение ${\displaystyle y^{2}=lx}$ , где ${\displaystyle l}$ - константа, называемая latus rectum, хотя он не знал, что любое уравнение в двух неизвестных определяет кривую.^[29] По-видимому, он вывел эти свойства конических сечений и другие. Используя эту информацию, теперь можно было найти решение проблемы удвоения куба путем нахождения точек пересечения двух парабол - решение, эквивалентное решению кубического уравнения.^[29].

Евтокий сообщил о том, что метод, который он использовал для решения кубического уравнения, принадлежит Дионисодору (250 до - 190 до н.э.). Дионисодор решил кубическое уравнение посредством пересечения прямоугольной гиперболы и параболы. Это было связано с проблемой из работы Архимеда "О сфере и цилиндре". Конические сечения изучались и использовались на протяжении тысячелетий греческими, а затем исламскими и европейскими математиками. В частности, в знаменитой работе Аполлония Пергского Труд о конических сечениях рассматриваются конические сечения, среди прочих тем.

Китайская математика датируется по меньшей мере 300 г. до н.э. с Чжоу би суань цзин, который принято считать одним из древнейших китайских математических документов.^[30].

Chiu-chang suan-shu или Математика в девяти книгах, написанная около 250 г. до н.э., является одной из самых влиятельных китайских книг по математике и состоит из 246 задач. В восьмой главе рассматривается решение детерминированных и индетерминированных систем линейных уравнений с использованием положительных и отрицательных чисел, при этом одна задача посвящена решению четырех уравнений с пятью неизвестными.^[30].

Ts'e-yuan hai-ching, или Морское зеркало измерений круга, - это сборник из примерно 170 задач, написанный Ли Е (1192 - 1279 CE). Он использовал фань фа, или метод Горнера, для решения уравнений степени до шести, хотя он не описал свой метод решения уравнений.^[31].

Shu-shu chiu-chang, или Математический трактат в девяти разделах, был написан богатым правителем и министром Цинь Цзюшао (ок. 1202 - ок. 1261). С введением метода решения систем конгруэнций, который сейчас называется китайская теорема об остатках, она знаменует собой высшую точку в китайском неопределенном анализе.^[31].

.

Самые ранние известные магические квадраты появились в Китае.^[32] "В "Математика в девяти книгах" автор решает систему линейных уравнений, помещая коэффициенты и постоянные члены линейных уравнений в 'магический квадрат' (т.е. матрицу) и выполняя операции сокращения столбцов над 'магическим квадратом'. ^[32] Самые ранние известные магические квадраты с порядком выше трёх приписываются Ян Хуэю (ок. 1261 - 1275), который работал с магическими квадратами с порядком до десятка.^[33].

Ssy-yüan yü-chien《四元玉鑒》, или Драгоценное зеркало четырех элементов, было написано Чжу Шицзе в 1303 году и знаменует собой пик в развитии китайской алгебры. Четыре элемента, именуемые Небом, Землей, Человеком и Материей, представляли четыре неизвестные величины в его алгебраических уравнениях. В Ssy-yüan yü-chien рассматриваются системы уравнений и уравнения со степенями вплоть до четырнадцатой. Для решения этих уравнений автор использует метод "фан фа", который ныне называется метод Горнера.^[34].

Драгоценное зеркало открывается диаграммой арифметического (треугольника Паскаля) с использованием круглого символа нуля, но 'Chu Shih-chieh' отрицает свою заслугу в этом. Похожий треугольник появляется в работе Ян Хуэя, но без символа нуля.^[35].

В "Драгоценном зеркале" есть множество уравнений суммирования, приведенных без доказательств. Вот некоторые из них:^[35].

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 3!}}$

${\displaystyle 1+8+30+80+\cdots +{n^{2}(n+1)(n+2) \over 3!}={n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1) \over 5!}}$

.

Диофант был математиком эллинистом, жившим приблизительно в 250 году н.э., но неопределенность этой даты настолько велика, что она может отличаться более чем на столетие. Он известен тем, что написал "Арифметику", трактат, который первоначально состоял из тринадцати книг, однако до наших дней дошли только первые шесть.^[36] "Арифметика" имеет очень мало общего с традиционной греческой математикой, поскольку она оторвана от геометрических методов, и отличается от вавилонской математики тем, что Диофант в первую очередь занимается точными решениями, как детерминированными, так и индетерминированными, вместо простых приближений.^[37]

Обычно довольно трудно определить, решаемо ли то или иное уравнение Диофанта. Нет никаких доказательств того, что Диофант вообще понимал, что у квадратного уравнения могло существовать два решения. Он также рассматривал системы квадратных уравнений.^[38] Кроме того, ни один общий метод не может быть абстрагирован ото всех решений Диофанта.^[39].Герман Ганкель писал: "У нашего автора [Диофант Александрийский|Диофанта] нет ни малейшего намека на общий, комплексный метод; каждая проблема требует какого-то особого метода, который отказывается работать даже для самых тесно взаимосвязанных проблем. По этой причине современному ученому трудно решить 101-ю задачу, даже изучив 100 решений Диофанта". (Hankel H.,Geschichte der mathematic im altertum und mittelalter, Leipzig, 1874. Chinese Mathematics in the thirteenth century, Dover publications, New York, 1973.)</ref>.

В "Арифметике" Диофант первым использовал символы для неизвестных чисел, а также сокращения для обозначения степеней чисел, отношений и операций;^[37] таким образом, он использовал то, что сейчас известно как "синкопированная" алгебра. Главное отличие синкопированной алгебры Диофанта от современной алгебраической системы обозначений состоит в том, что в ней отсутствовали специальные символы для операций, отношений и экспоненты.^[40] Так, например, то, что мы бы записали как:

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,}$

что можно переформулировать как

${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5,}$

будет записано в синкопированной нотации Диофанта как

${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;}$ ἴ${\displaystyle \sigma \;\,\mathrm {M} {\overline {\varepsilon }}}$

где символы представляют следующее:^[41][42].

Символ	Его обозначение
${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$	1
${\displaystyle {\overline {\beta }}}$	2
${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}$	5
${\displaystyle {\overline {\iota }}}$	10
ἴσ	"равно" (сокращение от ἴσος)
${\displaystyle \pitchfork }$	представляет вычитание всего, что следует ${\displaystyle \pitchfork }$ вплоть до ἴσ
${\displaystyle \mathrm {M} }$	нулевая степень (т.е. константа)
${\displaystyle \zeta }$	неизвестная величина (поскольку число ${\displaystyle x}$ , возведенное в первую степень, есть просто ${\displaystyle x,}$ это можно считать "первой степенью")
${\displaystyle \Delta ^{\upsilon }}$	вторая степень, от греческого δύναμις, означающего силу или власть
${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }}$	третья степень, с греческого κύβος, означающая куб
${\displaystyle \Delta ^{\upsilon }\Delta }$	четвёртая степень
${\displaystyle \Delta \mathrm {K} ^{\upsilon }}$	пятая степень
${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }\mathrm {K} }$	шестая степень

В отличие от современной системы счисления, коэффициенты идут после переменных, а сложение представлено соединением членов. Буквальный перевод синкопированного уравнения Диофанта в современное символическое уравнение будет выглядеть следующим образом:^[41]

${\displaystyle {x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5}$

где для уточнения, если использовать современные скобки и плюс, то вышеприведенное уравнение можно переписать как:^[41]

${\displaystyle \left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5}$ .

Arithmetica представляет собой сборник около 150 решённых задач с конкретными числами, в нём нет ни развития постулатов, ни явного объяснения общего метода, хотя, возможно, подразумевалась универсальность метода, и нет попытки найти все решения уравнений. ^[37] Арифметика содержит решенные задачи с несколькими неизвестными величинами, которые решаются, если возможно, путем выражения неизвестных величин в терминах только одной из них.^[37] Арифметика также использует тождества:^[43].

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}$	${\displaystyle =(ac+db)^{2}+(bc-ad)^{2}}$
	${\displaystyle =(ad+bc)^{2}+(ac-bd)^{2}}$