Упорядоченное кольцо
Упорядоченное кольцо в общей алгебре — это кольцо (обычно коммутативное), для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями кольца. Наиболее практически важными примерами являются кольцо целых чисел и кольца целых кратных.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/Number-line-2.svg/715px-Number-line-2.svg.png)
Определение
Пусть — кольцо, для элементов которого определён линейный порядок, то есть задано отношение
(меньше или равно) со следующими свойствами[1].
- Рефлексивность:
.
- Транзитивность: если
и
, то
.
- Антисимметричность: если
и
, то
.
- Линейность: все элементы
сравнимы между собой, то есть либо
, либо
.
Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения кольца:
- Если
, то для любого z:
.
- Если
и
, то
.
Если все 6 аксиом выполнены, то кольцо называется упорядоченным[2].
Примеры упорядоченных колец
- Кольцо целых чисел
- Кольцо чётных чисел и вообще любое кольцо чисел, кратных заданному ненулевому вещественному числу
(не обязательно целому).
- Любое упорядоченное поле — например, поля рациональных и вещественных чисел) являются также упорядоченными кольцами.
- Пример упорядоченного кольца с делителями нуля: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица тогда не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы)[3][4].
Связанные определения
Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:
- Отношение больше или равно:
означает, что
.
- Отношение больше:
означает, что
и
.
- Отношение меньше:
означает, что
.
Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Множество положительных элементов упорядоченного кольца часто обозначается через
Дискретное упорядоченное кольцо — это упорядоченное кольцо, в котором нет элементов между 0 и 1. Целые числа представляют собой дискретное упорядоченное кольцо, а рациональные числа — нет.
Основные свойства
Для всех имеют место следующие свойства.
- Всякий элемент упорядоченного кольца относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если
положителен, то
отрицателен, и наоборот.
- Однотипные неравенства можно складывать:
- Если
и
, то
.
- Неравенства можно умножать на неотрицательные элементы:
- Если
и
, то
.
- Упорядоченное кольцо не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда произведение положительных элементов положительно.
- Правило знаков: произведение ненулевых элементов с одинаковыми знаками неотрицательно (если в кольце нет делителей нуля, то положительно), а произведение положительного элемента на отрицательный неположительно (если нет делителей нуля, то отрицательно),
- Упорядоченное кольцо, которое не является тривиальным (то есть содержит не только ноль), бесконечно.
- Любое упорядоченное кольцо с единицей и без делителей нуля содержит одно и только одно подкольцо, изоморфное кольцу
целых чисел[6].
Примеры колец и полей, которые не допускают упорядочения
- Комплексные числа не образуют упорядоченного кольца, потому что в упорядоченном кольце, как указано выше, квадрат элемента всегда неотрицателен, и мнимая единица не может в него входить.
- Конечные поля.
- p-адические числа.
Абсолютная величина
Определим абсолютную величину элемента
Здесь функция осуществляет выбор наибольшего значения.Она обладает следующими свойствами (для всех
из кольца)[7].
тогда и только тогда, когда
.
- Для всех ненулевых
и только для них
.
- Абсолютные величины противоположных чисел совпадают:
- Неравенство треугольника:
.
- Мультипликативность:
равносильно
Вариации и обобщения
Теория упорядоченных колец охватывает также особые случаи некоммутативных (или даже неассоциативных) колец. Исследуются и другие вариации:
- Кольцо является не линейным, а лишь частично упорядоченным, то есть не все элементы можно сравнить с помощью заданного порядка[8].
- Вместо кольца имеется полукольцо, то есть в нём, вообще говоря, нет вычитания[9]. Пример: натуральный ряд, расширенный нулём.
Примечания
Литература
- Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — С. 271—272. — 299 с.
- Нечаев В. И. 6.4. Линейно упорядоченные кольца и тела // Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — С. 90—94. — 199 с.
Ссылки
- Ordered ring на сайте PlanetMath (англ.).