Троичная система счисления

В несимметричной троичной системе счисления чаще применяются цифры {0,1,2}, а в троичной симметричной системе счисления знаки {−,0,+}, {−1,0,+1}, {1,0,1}, {1,0,1}, {i,0,1}, {N,O,P}, {N,Z,P} и цифры {2,0,1}, {7,0,1}^{[источник не указан 4281 день]}. В распечатках ЭВМ «Сетунь» использовалось кодирование {1,0,1}^[1]. Троичные цифры можно обозначать любыми тремя знаками {A,B,C}, но при этом дополнительно нужно указать старшинство знаков, например, A<B<C.

В цифровой электронике, независимо от варианта троичной системы счисления, одному троичному разряду в троичной системе счисления соответствует один троичный триггер как минимум на трёх инверторах с логикой на входе или два двоичных триггера как минимум на четырёх инверторах с логикой на входе.

Примером представления чисел в несимметричной троичной системе счисления может служить запись в этой системе целых положительных чисел:

Если в десятичной системе счисления имеется 10 цифр и веса соседних разрядов различаются в 10 раз (разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен), то в троичной системе используются только три цифры и веса соседних разрядов различаются в три раза (разряд единиц, разряд троек, разряд девяток, …). Цифра 1, написанная первой левее запятой, обозначает единицу; эта же цифра, написанная второй левее запятой, обозначает тройку и т. д.

Несимметричная троичная система счисления является частным случаем спаренных (комбинированных) показательных позиционных систем счисления, в которой a_k — из троичного множества a={0,1,2}, b=3, веса разрядов равны 3^k.

В показательных позиционных троичных системах счисления используются две системы:

1. внутриразрядная система кодирования с основанием с, числа которой используются для записи цифр и
2. приписная межразрядная система счисления с основанием b.

Целое число в показательной позиционной системе счисления представляется в виде суммы произведений значений в разрядах (цифр) — ${\displaystyle \ a_{k}}$ на k-е степени числа b:

${\displaystyle x_{a,b}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}}$ , где:

• k — число от 0 до n-1, номер числового разрядa,
• n — число разрядов,
• с — основание системы кодирования, с равно размерности множества a={0,1,…,c-1} из которого берутся цифры a_k,
• a_k — целые числа из множества a, называемые цифрами,
• b — число, основание межразрядной показательной весовой функции,
• b^k — числа межразрядной функции, весовые коэффициенты разрядов.

Каждое произведение ${\displaystyle \ a_{k}b^{k}}$ в такой записи называется (a, b)-ичным разрядом.

При c=b образуются (b, b)-ичные системы счисления с произведением — a_kb^k и суммой — ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}}$ , которые при b=3 превращаются в обычную (3,3)-ичную (троичную) систему счисления. При записи первый индекс часто опускается, иногда, когда есть упоминание в тексте, опускается и второй индекс.

Весовой коэффициент разряда — b^k — приписной и, в общем случае, может быть необязательно показательной функцией от номера разряда — k, и необязательно степенью числа 3. Множество значений a_k более ограниченно и более связано с аппаратной частью — числом устойчивых состояний триггеров или числом состояний группы триггеров в одном разряде регистра. В общем случае, a_k могут быть тоже необязательно из троичного множества a={0,1,2}, но, чтобы спаренной системе быть троичной и называться троичной, как минимум, одна из двух систем должна быть троичной. a_k-е ближе к аппаратной части и по a_k-м из множества a={0,1,2} или из множества a={-1,0,+1}, определяется система кодирования: несимметричная троичная или симметричная троичная.

Целое число ${\displaystyle x}$ в показательной позиционной троичной системе записывают в виде последовательности его цифр (строки цифр), перечисляемых слева направо по убыванию старшинства разрядов:

${\displaystyle x_{a,b}=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0})_{a,b}.}$

В показательных системах счисления значениям разрядов приписываются весовые коэффициенты ${\displaystyle b^{k}}$ , в записи они опускаются, но подразумевается, что k-й разряд справа налево имеет весовой коэффициент равный ${\displaystyle b^{k}}$ .

Из комбинаторики известно, что количество записываемых кодов равно числу размещений с повторениями:

${\displaystyle {\bar {A}}(a,n)={\bar {A}}_{a}^{n}=a^{n}=3^{n},}$

где a = 3 — 3-элементное множество a = {0, 1, 2}, из которого берутся цифры a_k, n — число элементов (цифр) в числе x_3,b.

Количество записываемых кодов не зависит от основания показательной функции — b, которое определяет диапазон представляемых числами x_3,b величин.

Дробное число записывается и представляется в виде

${\displaystyle x_{a,b}=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{a,b}=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}b^{k},}$

где m — число разрядов дробной части числа справа от запятой;

• при m = 0 дробная часть отсутствует, число — целое,
• при a_k из троичного множества a = {0, 1, 2} и b = 1 образуется непозиционная троичная система счисления с одинаковыми весовыми коэффициентами всех разрядов равными 1^k = 1,
• при a_k из двоичного множества a = {0, 1} и b = 3 в сумме будут только целые степени — 3^k,
• при a_k из троичного множества a = {0, 1, 2} и b = 3 в сумме будут целые и удвоенные степени 3, система счисления становится обычной несимметричной троичной системой счисления, a_k удовлетворяют неравенству ${\displaystyle 0\leqslant a_{k}\leqslant (b-1)<b}$ , то есть ${\displaystyle 0\leqslant a_{k}\leqslant 2<3}$ ,
• при a_k из десятичного множества a = {0, 1, ..., 9} и b = 3 в сумме будут целые степени 3 умноженные на 1, 2, ..., 9.

В некоторых случаях этого может оказаться недостаточно, в таких случаях можно применить стро́енные (комтринированные), счетверённые и другие системы счисления.

В показательных позиционных троичных системах счисления в вес разряда можно ввести дополнительный сомножитель. Например, сомножитель (b/с):

${\displaystyle x_{a,b,c}=(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{a,b,c}=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}b^{k}(b/c)}$

В общем случае c≠3.
При a_k из a={0,1,2}, b=3 и c=3 образуется обычная несимметричная троичная система счисления.
При a=2, b=3 и c=2 образуется (2,3,2)-ичная система счисления с дополнительным нецелочисленным весовым коэффициентом в произведении равным (3/c)=(3/2)=1,5.
При других значениях a, b и c образуются другие показательные позиционные системы счисления с дополнительным сомножителем (b/c), число которых бесконечно.
Возможны бесконечные множества и других составных систем счисления.

Одна троичная цифра может кодироваться разными способами.

1. Трёхуровневое кодирование троичных цифр (3-Level LevelCoded Ternary, 3L LCT, «однопроводное»):
Число трёхуровневых систем кодирования троичных цифр равно числу перестановок:

${\displaystyle P_{3}=A_{3}^{3}={\frac {3!}{(3-3)!}}={\frac {3!}{0!}}=3!=6,}$ из них одна

1.1. Симметричная {-1,0,+1}
+U — (+1) ;
0 — (0) ;
-U — (-1) ,
1.2. Сдвинутая на +1 {0,1,2}
1.3. Сдвинутая на +2 {1,2,3}

2. Двухбитные двоичнокодированые троичные цифры (2-Bit BinaryCodedTernary, 2B BCT representation, «двухпроводное») с использованием 3-х кодов из 4-х возможных^[2]:
Число возможных 2B BCT систем кодирования троичных цифр равно числу сочетаний без повторения:

${\displaystyle {n \choose k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}={4 \choose 3}={\frac {4!}{3!\left(4-3\right)!}}=4,}$ умноженному на число перестановок в каждом наборе из 3-х цифр:

${\displaystyle P_{3}=A_{3}^{3}={\frac {3!}{(3-3)!}}={\frac {3!}{0!}}=3!=6,}$ то есть 4*6 = 24.

Вот некоторые из них:
2.1.^[3]
(1,0) — 2 ;
(0,1) — 1 ;
(0,0) — 0.
2.2.
(1,1) — 2;
(0,1) — 1;
(0,0) — 0.
3. Двухбитные двоичнокодированые троичные цифры (2-Bit BinaryCodedTernary, 2B BCT representation, «двухпроводное») с использованием всех 4-х кодов из 4-х возможных (два из 4-х кодов кодируют одну и туже троичную цифру из 3-х).
3.1.
Вот одна из них^[4]:
(0,0) — «0»
(1,1) — «0»
(0,1) — «-1»
(1,0) — «+1»
4. Трёхбитные двоичнокодированые троичные цифры (3-Bit BinaryCodedTernary, 3B BCT representation, «трёхпроводное») с использованием 3-х кодов из 8-ми возможных:
Число возможных 3B BCT систем кодирования троичных цифр равно числу сочетаний без повторения:

${\displaystyle {n \choose k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}={8 \choose 3}={\frac {8!}{3!\left(8-3\right)!}}=54,}$ умноженному на число перестановок в каждом наборе из 3-х цифр:

${\displaystyle P_{3}=A_{3}^{3}={\frac {3!}{(3-3)!}}={\frac {3!}{0!}}=3!=6,}$ то есть 54*6 = 324.

Вот некоторые из них:
3.1.
(1,0,0) — 2;
(0,1,0) — 1;
(0,0,1) — 0.
3.2.
(0,1,1) — 2;
(1,0,1) — 1;
(0,1,0) — 0.
3.3.
(1,1,1) — 2;
(0,1,1) — 1;
(0,0,1) — 0.
3.4.
(0,0,0) — 2;
(1,0,0) — 1;
(1,1,0) — 0.
3.5.
(1,0,0) — 2;
(1,1,0) — 1;
(1,1,1) — 0.
3.6.
(0,1,1) — 2;
(0,0,1) — 1;
(0,0,0) — 0.
3.7.
(1,0,1) — 2;
(0,1,0) — 1;
(0,0,0) — 0.
и др.

При поразрядном сравнении троичная система счисления оказывается более ёмкой, чем двоичная система счисления.
При девяти разрядах двоичный код имеет ёмкость ${\displaystyle 2^{9}=512}$ чисел, а троичный код имеет ёмкость ${\displaystyle 3^{9}=19683}$ числа, то есть в ${\displaystyle 3^{9}/2^{9}=38,4}$ раза больше.
При двадцати семи разрядах двоичный код имеет ёмкость ${\displaystyle 2^{27}=134217728}$ чисел, а троичный код имеет ёмкость ${\displaystyle 3^{27}=7625597484987}$ чисел, то есть в ${\displaystyle 3^{27}/2^{27}=56815,13}$ раз больше.

Троичная позиционная показательная несимметричная система счисления по затратам числа знаков (в трёхразрядном десятичном числе 3*10=30 знаков) наиболее экономична из позиционных показательных несимметричных систем счисления.^{[5][6][7][8][9]} А. Кушнеров^[6] приписывает эту теорему Джону фон Нейману.

Для перевода целое десятичное число делят нацело с остатком (целочисленное деление) на 3 до тех пор, пока частное больше нуля. Остатки, записанные слева направо от последнего к первому являются целым несимметричным троичным эквивалентом целого десятичного числа.^[10][11]
Пример: десятичное целое число 48_10,10 переведём в несимметричное троичное целое число:
число = 48_10,10 делим на 3, частное = 16, остаток a₀ = 0
частное = 16_10,10 делим на 3, частное = 5, остаток a₁ = 1
частное = 5_10,10 делим на 3, частное = 1, остаток a₂ = 2
частное = 1_10,10 делим на 3, частное = 0, остаток a₃ = 1
Частное не больше нуля, деление закончено.
Теперь, записав все остатки от последнего к первому слева направо, получим результат 48_10,10 = (a₃a₂a₁a₀)_3,3 = 1210_3,3.

Позиционная целочисленная симметричная троичная система счисления была предложена итальянским математиком Фибоначчи (Леонардо Пизанский) (1170—1250) для решения «задачи о гирях».^[12] Задачу о наилучшей системе гирь рассматривал Лука Пачоли (XV в.). Частный случай этой задачи был опубликован в книге французского математика Клода Баше де Мезириака «Сборник занимательных задач» в 1612 году (русский перевод книги К. Г. Баше «Игры и задачи, основанные на математике» вышел в Петербурге только в 1877 г.). В 1797 году в России был издан закон «Об учреждении повсеместно в Российской империи верных весов питейных и хлебных мер». Для взвешивания товаров допускались только гири следующих весов: в 1 и 2 пуда, в 1, 3, 9, 27 фунтов и в 1, 3, 9, 27 и 81 золотник. Как приложение к закону была издана таблица для взвешивания товаров от 1 фунта до 40 фунтов при помощи гирь в 1, 3, 9, 27 фунтов и для взвешивания товаров от 1 золотника до 96 золотников при помощи гирь в 1, 3, 9, 27 и 81 золотник^[13]. Этой задачей занимался петербургский академик Леонард Эйлер, а позже интересовался Д. И. Менделеев.^{[14][15][16][17][18]}

Симметричность при взвешивании на рычажных весах использовали с древнейших времён, добавляя гирю на чашу с товаром. Элементы троичной системы счисления были в системе счисления древних шумеров,^[19] в системах мер, весов и денег, в которых были единицы равные 3. Но только в симметричной троичной системе счисления Фибоначчи объединены оба этих свойства.

Симметричная система позволяет изображать отрицательные числа, не используя отдельный знак минуса. Число 2 изображается цифрой 1 в разряде троек и цифрой ${\displaystyle {\bar {1}}}$ (минус единица) в разряде единиц. Число −2 изображается цифрой ${\displaystyle {\bar {1}}}$ (минус единица) в разряде троек и цифрой 1 в разряде единиц.
Возможны шесть соответствий цифр (знаков) троичной симметричной системы счисления и цифр (знаков) троичной несимметричной системы счисления:

В соответствии 2. сохраняются числовые значения 0 и 1.

В троичной симметричной системе счисления знак 1 можно заменить знаком (не числом) i или 2 и, во втором случае, использовать для троичной симметричной системы счисления {-1,0,+1} знаки троичной несимметричной системы {2,0,1}.

Благодаря тому что основание 3 нечётно, в троичной системе возможно симметричное относительно нуля расположение цифр: −1, 0, 1, с которым связано шесть ценных свойств:

• Естественность представления отрицательных чисел;
• Отсутствие проблемы округления: обнуление ненужных младших разрядов округляет — приближает число к ближайшему «грубому».
• Таблица умножения в этой системе, как отметил О. Л. Коши, примерно в четыре раза короче.^[14](стр.34).
• Для изменения знака представляемого числа нужно изменить ненулевые цифры на симметричные.
• При суммировании большого количества чисел значение для переноса в следующий разряд растёт с увеличением количества слагаемых не линейно, а пропорционально квадратному корню числа слагаемых.
• По затратам количества знаков на представление чисел она равна троичной несимметричной системе.

Наличие положительной и отрицательной цифр позволяет непосредственно представлять как положительные, так и отрицательные числа. При этом нет необходимости в специальном разряде знака и не надо вводить дополнительный (или обратный) код для выполнения арифметических операций с отрицательными числами. Все действия над числами, представленными в троичной симметричной системе счисления, выполняются, естественно, с учётом знаков чисел. Знак числа определяется знаком старшей значащей цифры числа: если она положительна, то и число положительно, если отрицательна, то и число отрицательно. Для изменения знака числа надо изменить знаки всех его цифр (то есть инвертировать его код инверсией Лукасевича). Например:

${\displaystyle 10{\bar {1}}=9-1=8}$

${\displaystyle {\bar {1}}01=-9+1=-8}$

Другим полезным следствием симметричного расположения значений цифр является отсутствие проблемы округления чисел: абсолютная величина части числа, представленной отбрасываемыми младшими цифрами, никогда не превосходит половины абсолютной величины части числа, соответствующей младшей значащей цифре младшего из сохраняемых разрядов. Следовательно, в результате отбрасывания младших цифр числа получается наилучшее при данном количестве оставшихся цифр приближение этого числа, и округление не требуется.

Перевод чисел из десятичной системы в троичную и соответствующий ему вопрос о гирях подробно изложены в книгах^[20][21]. Там же рассказано о применении троичной системы гирь в русской практике.

Всякое число, записанное в троичной системе счисления с цифрами 0, 1, −1, можно представить в виде суммы целых степеней числа 3, причём если в данном разряде троичного изображения числа стоит цифра 1, то соответствующая этому разряду степень числа 3 входит в сумму со знаком «+», если же цифра −1, то со знаком «-», а если цифра 0, то вовсе не входит. Это можно представить формулой

${\displaystyle \cdots +K_{3}\cdot 3^{3}+K_{2}\cdot 3^{2}+K_{1}\cdot 3^{1}+K_{0}\cdot 3^{0}+K_{-1}\cdot 3^{-1}+K_{-2}\cdot 3^{-2}+K_{-3}\cdot 3^{-3}+\cdots }$ , где

${\displaystyle \cdots +K_{3}\cdot 3^{3}+K_{2}\cdot 3^{2}+K_{1}\cdot 3^{1}+K_{0}\cdot 3^{0}}$  — целая часть числа,

${\displaystyle \cdots +K_{-1}\cdot 3^{-1}+K_{-2}\cdot 3^{-2}+K_{-3}\cdot 3^{-3}+\cdots }$  — дробная часть числа,

причём коэффициенты K могут принимать значения { 1, 0, −1 }.

Для того чтобы число, представленное в троичной системе, перевести в десятичную систему, надо цифру каждого разряда данного числа умножить на соответствующую этому разряду степень числа 3 (в десятичном представлении) и полученные произведения сложить.

• Работая в палате мер и весов, Д. И. Менделеев, с учётом симметричной троичной системы счисления, разработал цифровой ряд значений весов разновеса для взвешивания на лабораторных весах, который используется по сей день.
• Следствием из задачи Фибоначчи о гирях является то, что применение троичности в номиналах денежных систем (3 коп., 15 коп., 3 руб.) упрощает набор и суммы и сдачи и уменьшает количество денежных знаков в обороте (количество монет и вес монет для монет или количество листов и вес листов для банкнот).
• Симметричная троичная система использовалась в советской ЭВМ Сетунь.

Представление команд троичным кодом при программировании и при вводе в машину неудобно и неэкономно, поэтому вне машины применяется девятеричная форма представления команд. Девятеричные цифры ${\displaystyle {\bar {4}},{\bar {3}},{\bar {2}},{\bar {1}},0,1,2,3,4}$ сопоставляются парам троичных цифр:

${\displaystyle {\bar {1}}{\bar {1}}={\bar {4}};\quad {\bar {1}}0={\bar {3}};\quad {\bar {1}}1={\bar {2}};\quad 0{\bar {1}}={\bar {1}};\quad 00=0;}$

${\displaystyle 11=4;\quad 10=3;\quad 1{\bar {1}}=2;\quad 01=1.}$

При выводе из машины отрицательные девятеричные цифры обозначают буквами:

Девятеричная цифра	${\displaystyle {\bar {1}}}$	${\displaystyle {\bar {2}}}$	${\displaystyle {\bar {3}}}$	${\displaystyle {\bar {4}}}$
Буква латинского алфавита	Z	Y	X	W
Буква русского алфавита	Ц	У	Х	Ж

• Троичный код
• Троичная логика
• Сетунь (компьютер)
• Троичный триггер
• Троичный компьютер
• Троичный разряд
• Трайт
• Единицы количества информации
• Троичное кодирование

• Брусенцов Н. П., С. П. Маслов, В. П. Розин, А. М. Тишулина «Малая цифровая вычислительная машина Сетунь», Издательство Московского университета, 1965.
• Фомин С. В. Системы счисления. — М.: Наука, 1987. — 48 с. — (Популярные лекции по математике).