Теорема синусов
Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между длинами сторон треугольника и величиной противолежащих им углов.Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/49/Triangle_with_notations_2.svg/250px-Triangle_with_notations_2.svg.png)
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. |
и расширенная теорема синусов:
Для произвольного треугольника где , , — стороны треугольника, — соответственно противолежащие им углы, а — радиус окружности, описанной около треугольника. |
Доказательства
Доказательство обычной теоремы синусов
Воспользуемся только определением высоты треугольника, опущенной на сторону b, и синуса для двух углов:
. Следовательно,
, что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов. ∎
Доказательство расширенной теоремы синусов
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Sinus-thm.png/300px-Sinus-thm.png)
Достаточно доказать, что
Проведем диаметр для описанной окружности.По свойству углов, вписанных в окружность, угол
прямой, а угол
равен либо
, если точки
и
лежат по одну сторону от прямой
, либо
в противном случае. Поскольку
, в обоих случаях получаем
.
Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:
Вариации и обобщения
В треугольнике против большего угла лежит бо́льшая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
где — угол между гранями
и
;
— общая грань
и
;
— объём симплекса.
История
- В первой главе Альмагеста (около 140 года н. э.) теорема синусов используется, но явно не формулируется[1].
- Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке[2].
- Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке[3]. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере[4].
Вариации и обобщения
- Сферическая теорема синусов
- На плоскости Лобачевского с кривизной
теорема синусов принимает следующую форму: