Теорема Гаусса — Ванцеля
Теоре́ма Га́усса — Ванце́ля даёт необходимое и достаточное условие на то, что правильный -угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/76/Pentagon_construct.gif)
Формулировка
Правильный -угольник возможно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда
, где
и
— неотрицательные целые числа, а
— различные простые числа Ферма.
Замечания
- Это условие также эквивалентно тому, что значение функции Эйлера
является степенью числа два.
- В настоящее время найдены только пять простых чисел Ферма:
[1]
- поэтому (до открытия новых простых Ферма) с помощью циркуля и линейки можно построить правильный многоугольник с максимальным нечётным числом сторон, равным
= 4294967295.
- Правильный
-многоугольник может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда при наличии на плоскости отрезка длины
можно построить отрезок, длина которого равна
— косинусу центрального угла данного
-многоугольника. Это, в свою очередь, верно тогда и только тогда, когда данный косинус является вещественно построимым числом, то есть может быть выражен при помощи целых чисел, простейших арифметических операций и извлечения квадратного корня.
История
Античным геометрам были известны способы построения правильных -угольников для
и
.
В 1796 году Гаусс показал возможность построения правильных -угольников при
, где
— различные простые числа Ферма. (Здесь случай
соответствует числу сторон
.)
В 1837 году Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует.
Конкретные реализации построения весьма трудоёмки:
- Построение правильного семнадцатиугольника было непосредственно осуществлено самим Гауссом, но впервые опубликовано К. Ф. фон Пфейдерером в 1802 году.
- Правильный 257-угольник построил Ф. Ю. Ришело в 1832 году[2].
- В библиотеке Гёттингенского университета хранится рукопись, являющаяся итогом десятилетней работы И. Г. Гермеса, которая содержит метод построения правильного 65537-угольника.
Один слишком навязчивый аспирант довёл своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением[3].Дж. Литлвуд
Ссылки
- Жак Сезиано История построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки от Евклида до Гаусса Семинар по истории математики 4 мая 2017 года 18:00, Санкт-Петербург, ПОМИ, Фонтанка 27, аудитория 106.