Теорема Вигнера

Проективное гильбертово пространство ${\displaystyle \mathbb {P} H}$ комплексного гильбертова пространства ${\displaystyle H}$ — это множество классов эквивалентности ненулевых векторов ${\displaystyle \Psi \in H}$ , для отношения эквивалентности ${\displaystyle \sim }$ на ${\displaystyle H}$ , заданного следующим образом:

${\displaystyle \Psi \sim \Phi }$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \Psi =\lambda \Phi }$ для некоторого ненулевого комплексного числа ${\displaystyle \lambda }$ .

Классы эквивалентности ${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$ также называются лучами или проективными лучами^[3].

Преобразование унитарно, если оно биективно и $${\displaystyle \langle U\Psi ,U\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle .}$$ Преобразование антиунитарно, если $${\displaystyle \langle A\Psi ,A\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle ^{*}=\langle \Phi ,\Psi \rangle .}$$

Пусть есть унитарное преобразование ${\displaystyle U:H\to K}$ гильбертовых пространств.

Определим$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{U}:\mathbb {P} H&\to \mathbb {P} K\\{\underline {\Psi }}&\mapsto {\underline {U\Psi }},\\\end{aligned}}}$$ которое является преобразованием симметрии, поскольку$${\displaystyle T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\frac {\left|\langle U\Psi ,U\Phi \rangle \right|}{\|U\Psi \|\|U\Phi \|}}={\frac {\left|\langle \Psi ,\Phi \rangle \right|}{\|\Psi \|\|\Phi \|}}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}.}$$ Таким же образом антиунитарные преобразования ${\displaystyle A}$ симметрии гильбертова пространства индуцируют преобразование симметрии пространства лучей.

Теорема Вигнера утверждает, что верно и обратное:Если ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle K}$ — гильбертовы пространства, и ${\displaystyle T:\mathbb {P} H\to \mathbb {P} K}$ — преобразование симметрии, тогда существует унитарное или антиунитарное преобразование ${\displaystyle V:H\to K}$ , которое индуцирует ${\displaystyle T}$ .^[2][4][5]

Доказательство см.^[2][4]

В некоторых источниках^[6], теорема Вигнера относится к собственным состояниям симметричной квантово-механической системы, и говорит о том, что если гамильтониан инвариантен относительно преобразований какой-то группы, то его собственные функции образуют базис неприводимых представлений этой группы, а кратность вырождения уровня равна размерности представления.

• Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров. — М.: ИЛ, 1961. — 443 с.
• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров, И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М.: Наука, 1969. — 424 с.
• Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields, vol. 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7 – via Internet Archive