Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Для трёхмерного вектора скорости жидкости ${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},\;t)}$ и давления ${\displaystyle p({\vec {x}},\;t)}$ уравнения Навье — Стокса записываются так:

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta {\vec {v}}+{\vec {f}}({\vec {x}},\;t)}$ ,

где ${\displaystyle \nu >0}$  — это кинематическая вязкость, ${\displaystyle \rho }$  — плотность, ${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}},\;t)}$  — внешняя сила, ${\displaystyle \nabla }$  — оператор набла и ${\displaystyle \Delta }$  — оператор Лапласа (лапласиан), который также обозначается, как ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$ или ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ . Это векторное уравнение, которое в трёхмерном случае может быть представлено как три скалярных уравнения. Если обозначить компоненты векторов скорости и внешней силы как:

${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},\;t)=(v_{1}({\vec {x}},\;t),\;v_{2}({\vec {x}},\;t),\;v_{3}({\vec {x}},\;t)),}$

${\displaystyle \qquad {\vec {f}}({\vec {x}},\;t)=(f_{1}({\vec {x}},\;t),\;f_{2}({\vec {x}},\;t),\;f_{3}({\vec {x}},\;t)),}$ то для каждого значения ${\displaystyle i=1,\;2,\;3}$ получается соответствующее скалярное уравнение:

${\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu \sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}+f_{i}({\vec {x}},\;t).}$

Неизвестными величинами являются скорость ${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},\;t)}$ и давление ${\displaystyle p({\vec {x}},\;t)}$ . Поскольку в трёхмерном случае получается три уравнения и четыре неизвестных (три компоненты скорости и давление), то необходимо ещё одно уравнение. Дополнительным уравнением является закон сохранения массы — уравнение неразрывности, которое в случае несжимаемой среды преобразуется в условие несжимаемости жидкости:

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v}}=0.}$

Начальные условия к уравнениям Навье — Стокса задаются в виде:

${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},0)={\vec {v^{0}}}({\vec {x}})}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {v^{0}}}({\vec {x}})}$  — заданная гладкая вектор-функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {v^{0}}}=0}$ .

Институт Клэя сформулировал два основных варианта постановки задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса. В первом варианте уравнения рассматриваются во всём трёхмерном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с некоторыми ограничениями на скорость роста решения на бесконечности. Во втором варианте уравнения рассматриваются на трёхмерном торе ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}}$ с периодическими граничными условиями. Для получения премии достаточно доказать или опровергнуть существование и гладкость решения в любом из двух вариантов.

Пусть начальная скорость ${\displaystyle {\vec {v^{0}}}(x)}$  — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности и такая, что для любого мультииндекса ${\displaystyle \alpha }$ и любого ${\displaystyle K>0}$ существует постоянная ${\displaystyle C_{\alpha ,K}>0}$ (зависящая только от ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle K}$ ) такая, что

${\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }{\vec {v_{0}}}(x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert {\vec {x}}\vert )^{K}}}\qquad }$ для всех ${\displaystyle \qquad x\in \mathbb {R} ^{3}.}$

Пусть внешняя сила ${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}},t)}$  — также гладкая функция, удовлетворяющая аналогичному неравенству (здесь мультииндекс включает также производные по времени):

${\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }{\vec {f}}({\vec {x}})\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert {\vec {x}}\vert +t)^{K}}}\qquad }$ для всех ${\displaystyle \qquad ({\vec {x}},t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}$

Решения должны быть гладкими функциями, которые не возрастают неограниченно при ${\displaystyle \vert {\vec {x}}\vert \to \infty }$ . Требуется выполнение следующих условий:

1. ${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p({\vec {x}},t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))}$
2. Существует постоянная ${\displaystyle E\in (0,\infty )}$ такая, что ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert {\vec {v}}({\vec {x}},t)\vert ^{2}dx<E}$ для всех ${\displaystyle t\geq 0}$ .

Первое условие означает, что функции глобально определены и являются гладкими; второе — что кинетическая энергия глобально ограничена.

Требуется доказать одно из двух утверждений:

• существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ : для ${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}},t)\equiv 0}$ и любого начального условия ${\displaystyle {\vec {v_{0}}}({\vec {x}})}$ , удовлетворяющего вышеописанным условиям, существует глобальное гладкое решение уравнений Навье — Стокса, то есть вектор скорости ${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)}$ и поле давления ${\displaystyle p({\vec {x}},t)}$ , удовлетворяющее условиям 1 и 2;
• несуществование или негладкость решений уравнений Навье — Стокса в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ : существуют начальное условие ${\displaystyle {\vec {v_{0}}}({\vec {x}})}$ и внешняя сила ${\displaystyle {\vec {f}}({\vec {x}},t)}$ такие, что не существует решений ${\displaystyle {\vec {v}}({\vec {x}},t)}$ и ${\displaystyle p({\vec {x}},t)}$ , удовлетворяющих условиям 1 и 2.

10 января 2014 года казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев опубликовал статью, в которой утверждал, что дал полное решение проблемы^[1], проверка результата осложнена тем, что работа написана на русском языке^[2][3]. В сообществах математиков обсуждаются контрпримеры к основным утверждениям^[4]. В 2014 году была найдена серьёзная ошибка в доказательстве, которую признал автор^[5].

• P. G. Lemarie-Rieusset. The Navier-Stokes Problem in the 21st Century (англ.). — CRC Press, 2016. — P. 740. — ISBN 1466566213.
• Giovanni Galdi. An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations: Steady-State Problems (англ.). — Springer, 2011. — P. 1032. — ISBN 0387096191.

• Официальное описание задачи, данное Чарльзом Фефферманом (англ.)
• Проблемы 2000 года: уравнения Навье-Стокса // Компьютерра, 5 октября 2005 года.
• Современное состояние проблемы в личном блоге Теренса Тао