Симплициальный комплекс
Симплициальный компле́кс[1], или симплициальное пространство, — топологическое пространство с заданной на нём триангуляцией, то есть, неформально говоря, склеенное из топологических симплексов по определённым правилам.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Simplicial_complex_example.svg/200px-Simplicial_complex_example.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/84/Toroidal_polyhedron.gif)
Определения
Симплициальный комплекс
Симплициальный комплекс — топологическое пространство, представленное как объединение множеств, гомеоморфных симплексу и образующих триангуляцию этого пространства.
Геометрический комплекс
Это понятие является частным случаем предыдущего, когда рассматриваются симплексы в евклидовом пространстве.
Геометрический комплекс — множество симплексов в евклидовом пространстве таких, что:
- с любым из симплексов в это множество входят все его грани;
- любые два симплекса либо вообще не имеют общей точки, либо пересекаются только по целой грани какой-то размерности, причём только по одной грани;
- у любой точки
комплекса есть окрестность
такая, что если
пересекается с симплексом комплекса
, то
.
Часто дополнительно требуют локальную конечность, то есть должно выполняться следующее условие:
- любая точка комплекса имеет окрестность, пересекающуюся не более чем с конечным числом симплексов.
Абстрактный комплекс
Абстрактный комплекс[англ.] — это множество с выделенным набором его конечных подмножеств
таких, что если
и
то
.
При этом элементы множества называются вершинами комплекса, а элементы множества
называются его симплексами.
Связанные определения
- n-мерным остовом комплекса называется подкомплекс, образованный всеми его симплексами размерности не более n.
- Размерность симплициального комплекса определяется как максимальная размерность его симплексов.
Пусть K есть симплициальный комплекс, и пусть S — некоторый набор симплексов в K.
- Замыкание
(обозначается
) есть наименьший подкомплекс в
, содержащий каждый симплекс из
. Замыкание
может быть получено путём добавления к
всех граней всех симплексов из
.
- Два симплекса и их замыкание.
- Звезда от
(обозначается
) — объединение звёзд всех симплексов в
. Для одного симплекса
звезда
— это набор симплексов, имеющих
своей гранью. (Звезда - S, как правило, не является симплициальным комплексом).
- Вершина и её звезда
- Вершина и её линк
- Линк
(обозначается
) может быть определён как
- Это — подкомплекс, образованный всеми симплексами, входящими в симплексы большей размерности вместе с симплексом из
но не имеющие граней из
.
См. также
Примечания
Литература
- Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 3, стр.151. Том 4, стр.1168. (М.: Советская энциклопедия, 1985.)