Симметрическая разность

Симметри́ческая ра́зность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является новое множество, включающее все элементы исходных множеств, не принадлежащие одновременно обоим исходным множествам. Другими словами, если есть два множества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, их симметрическая разность есть объединение элементов ${\displaystyle A}$, не входящих в ${\displaystyle B}$, с элементами ${\displaystyle B}$, не входящими в ${\displaystyle A}$. На письме для обозначения симметрической разности множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ используется обозначение ${\displaystyle A\bigtriangleup B}$, реже используется обозначение ${\displaystyle A\,{\dot {-}}\,B}$ или ${\displaystyle A+B}$^[1].

Симметрическую разность можно ввести двумя способами:

• симметрическая разность двух заданных множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — это такое множество ${\displaystyle A\bigtriangleup B}$, куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:

${\displaystyle A\bigtriangleup B=\left(A\setminus B\right)\cup \left(B\setminus A\right).}$

• симметрическая разность двух заданных множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — это такое множество ${\displaystyle A\bigtriangleup B}$, куда входят все те элементы обоих множеств, которые не являются общими для двух заданных множеств.

${\displaystyle A\bigtriangleup B=\left(A\cup B\right)\setminus \left(A\cap B\right).}$

Понятие симметрической разности можно обобщить на число множеств, большее двух.

• Симметрическая разница является бинарной операцией на любом булеане;
• Симметрическая разность коммутативна:

${\displaystyle A\bigtriangleup B=B\,\triangle \,A;}$

• Симметрическая разность ассоциативна:

${\displaystyle \left(A\bigtriangleup B\right)\,\triangle \,C=A\bigtriangleup \left(B\,\triangle \,C\right);}$

• Пересечение множеств дистрибутивно относительно симметрической разности:

${\displaystyle A\cap \left(B\bigtriangleup C\right)=\left(A\cap B\right)\bigtriangleup \left(A\cap C\right);}$

• Пустое множество является нейтральным элементом симметрической разности:

${\displaystyle A\bigtriangleup \varnothing =A;}$

• Любое множество обратно само себе относительно операции симметрической разности:

${\displaystyle A\bigtriangleup A=\varnothing ;}$

• В частности, булеан с операцией симметрической разности является абелевой группой;
• Булеан с операцией симметрической разности также является векторным пространством над полем ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}.}$
• В частности, булеан с операциями пересечения множеств и симметрической разности является алгеброй с единицей.
• ${\displaystyle \left(A_{1}\cap A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cap B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);}$
• ${\displaystyle \left(A_{1}\cup A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\cup B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);}$
• ${\displaystyle \left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\bigtriangleup \left(B_{1}\setminus B_{2}\right)\subset \left(A_{1}\bigtriangleup B_{1}\right)\cup \left(A_{2}\bigtriangleup B_{2}\right);}$

• Если роль «суммы» играет операция симметрической разности, а роль «произведения» — пересечение множеств, то множества образуют кольцо с единицей. Причём другие основные операции теории множеств, разность и объединение, можно выразить через них:

${\displaystyle A\cup B=A\bigtriangleup B\bigtriangleup \left(A\cap B\right),}$

${\displaystyle A\setminus B=A\bigtriangleup \left(A\cap B\right).}$

• Объединение симметрической разности с пересечением двух множеств равно объединению исходных множеств

${\displaystyle (A\bigtriangleup B)\cup (A\cap B)=A\cup B}$

Пусть

${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},\quad B=\{3,4,5,6,7\}.}$

Тогда

${\displaystyle A\,\triangle \,B=\{1,2,6,7\}.}$

• Операции над множествами

• К. Куратовский, А. Мостовский. Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — С. 23—26.