Механическая работа

По определению, «элементарная» (совершаемая за бесконечно малое время) работа — скалярное произведение действующей на материальную точку силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ на перемещение ${\displaystyle d{\vec {s}}}$ , то есть

${\displaystyle \delta A={\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}}$ .

Использование символа δ (а не ${\displaystyle d}$ ) обусловлено тем, что дифференциал работы не обязательно полный. Работа за конечный промежуток времени — интеграл элементарной работы:

${\displaystyle A=\int \delta A}$ .

Если имеется система материальных точек, выполняется суммирование по всем точкам. При наличии нескольких сил их работа определяется как работа равнодействующей (векторной суммы) этих сил.

Работа обычно обозначается заглавной буквой ${\displaystyle A}$ (от нем. Arbeit — работа, труд) или заглавной буквой ${\displaystyle W}$ (от англ. work — работа, труд).

Единицей измерения (размерностью) работы в Международной системе единиц (СИ) является джоуль, в СГС — эрг. При этом

1 Дж = 1 кг·м²/с² = 1 Н·м;

1 эрг = 1 г·см²/с² = 1 дин·см;

1 эрг = 10⁻⁷ Дж.

При прямолинейном движении материальной точки и постоянном значении приложенной к ней силы, работа (этой силы) равна произведению проекции вектора силы на направление движения и длины вектора перемещения, совершённого точкой:

${\displaystyle A=F_{s}s=Fs\ \mathrm {cos} (F,s)={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}}$

Здесь «${\displaystyle \,\cdot \,}$ » обозначает скалярное произведение, ${\displaystyle {\vec {s}}}$  — вектор перемещения.

Если направление приложенной силы ортогонально перемещению тела или перемещение равно нулю, то работа этой силы равна нулю.

В общем случае, когда сила не постоянна, а движение не прямолинейно, работа вычисляется как криволинейный интеграл второго рода по траектории точки^[2]:

${\displaystyle A=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}}$

(подразумевается суммирование по кривой, которая является пределом ломаной, составленной из перемещений ${\displaystyle d{\vec {s}}}$ , если вначале считать их конечными, а потом устремить длину каждого к нулю).

Если существует зависимость силы от координат^[3], интеграл определяется^[4] следующим образом:

${\displaystyle A=\int \limits _{{\vec {r}}_{0}}^{{\vec {r}}_{1}}{\vec {F}}\left({\vec {r}}\right)\cdot d{\vec {r}}}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ и ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}}$  — радиус-векторы начального и конечного положения тела. Например, если движение происходит в плоскости ${\displaystyle xy}$ , а ${\displaystyle {\vec {F}}=F_{x}{\vec {e}}_{x}+F_{y}{\vec {e}}_{y}}$ и ${\displaystyle d{\vec {r}}=dx{\vec {e}}_{x}+dy{\vec {e}}_{y}}$ (${\displaystyle {\vec {e}}_{x}}$ , ${\displaystyle {\vec {e}}_{y}}$ — орты), то последний интеграл обретёт вид ${\displaystyle A=\int (F_{x}+F_{y}|dy/dx|)dx}$ , где производная ${\displaystyle dy/dx}$ берётся для кривой ${\displaystyle y(x)}$ , по которой движется точка.

Если сила ${\displaystyle {\vec {F}}}$ является консервативной (потенциальной), результат вычисления работы будет зависеть только от начального и финального положения точки, но не от траектории, по которой она перемещалась.

Работа сил по перемещению системы из ${\displaystyle N}$ материальных точек определяется как сумма работ этих сил по перемещению каждой точки (работы, совершённые над каждой точкой системы, суммируются в работу этих сил над системой):

${\displaystyle A=\sum A_{n},\quad n=1,2,..,N}$ .

Если тело не является системой дискретных точек, его можно разбить (мысленно) на множество бесконечно малых элементов (кусочков), каждый из которых можно считать материальной точкой, и вычислить работу в соответствии с определением выше. В этом случае дискретная сумма заменяется на интеграл:

${\displaystyle A=\int \delta A({\vec {r}}')=\iint {\frac {d{\vec {F}}({\vec {r}}')}{dV'}}\cdot d{\vec {r}}({\vec {r}}')dV'}$ ,

где ${\displaystyle dA({\vec {r}}')}$ — работа по перемещению бесконечно малого фрагмента объёма тела ${\displaystyle dV'}$ , локализованного около координаты ${\displaystyle {\vec {r}}'}$ (в системе отсчёта тела), от начального до финального положения, ${\displaystyle d{\vec {F}}/dV'}$ (Н/м³) — плотность действующей силы, а интегрирование проводится по всему объёму тела.

Эти формулы могут быть использованы как для вычисления работы конкретной силы или класса сил, так и для вычисления полной работы, совершаемой всеми силами, действующими на систему.

Кинетическая энергия вводится в механике в прямой связи с понятием работы.

С использованием второго закона Ньютона, позволяющего выразить силу через ускорение как ${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$ (где ${\displaystyle m}$ — масса материальной точки), а также соотношений ${\displaystyle d{\vec {s}}=d{\vec {r}}={\vec {v}}dt}$ и ${\displaystyle d(v^{2})/dt=d({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/dt=2{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}}$ , элементарная работа может быть переписана как

${\displaystyle \delta A=m{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}dt={\frac {d}{dt}}\left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)dt}$ .

При интегрировании от начального до финального момента получится

${\displaystyle A=\Delta \left({\frac {mv^{2}}{2}}\right)=\Delta E_{k}}$ ,

где ${\displaystyle E_{k}}$ — кинетическая энергия. Для материальной точки она определяется как половина произведения массы этой точки на квадрат её скорости и выражается^[5] как ${\displaystyle E_{k}=mv^{2}/2}$ . Для сложных объектов, состоящих из множества частиц, кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий частиц.

Сила называется потенциальной, если существует скалярная функция координат, известная как потенциальная энергия и обозначаемая ${\displaystyle E_{p}}$ , такая, что

${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla E_{p}}$ .

Здесь ${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла. Если все силы, действующие на частицу, консервативны, и ${\displaystyle E_{p}}$ является полной потенциальной энергией, полученной суммированием потенциальных энергий, соответствующих каждой силе, то

${\displaystyle {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}=-\nabla E_{p}\cdot d{\vec {s}}=-dE_{p}\Rightarrow -dE_{p}=dE_{k}\Rightarrow d(E_{k}+E_{p})=0}$ .

Данный результат известен как закон сохранения механической энергии и утверждает, что полная механическая энергия

${\displaystyle E=E_{k}+E_{p}}$

в замкнутой системе, в которой действуют консервативные силы, является постоянной во времени. Этот закон широко используется при решении задач классической механики.

Пусть материальная точка ${\displaystyle M}$ движется по непрерывно дифференцируемой кривой ${\displaystyle G=\{r=r(s)\}}$ , где s — переменная длина дуги, ${\displaystyle 0\leq s\leq S}$ , и на неё действует сила ${\displaystyle F(s)}$ , направленная по касательной к траектории в направлении движения (если сила не направлена по касательной, то будем понимать под ${\displaystyle F(s)}$ проекцию силы на положительную касательную кривой, таким образом сведя и этот случай к рассматриваемому далее).

Величина ${\displaystyle F(\xi _{i})\triangle s_{i},\triangle s_{i}=s_{i}-s_{i-1},i=1,2,...,i_{\tau }}$ , называется элементарной работой силы ${\displaystyle F}$ на участке ${\displaystyle G_{i}}$ и принимается за приближённое значение работы, которую производит сила ${\displaystyle F}$ , воздействующая на материальную точку, когда последняя проходит кривую ${\displaystyle G_{i}}$ . Сумма всех элементарных работ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{i_{\tau }}F(\xi _{i})\triangle s_{i}}$ является интегральной суммой Римана функции ${\displaystyle F(s)}$ .

В соответствии с определением интеграла Римана, можем дать определение работе:

Предел, к которому стремится сумма ${\displaystyle \sum _{i=1}^{i_{\tau }}F(\xi _{i})\triangle s_{i}}$ всех элементарных работ, когда мелкость ${\displaystyle |\tau |}$ разбиения ${\displaystyle \tau }$ стремится к нулю, называется работой силы ${\displaystyle F}$ вдоль кривой ${\displaystyle G}$ .

Таким образом, если обозначить эту работу буквой ${\displaystyle A}$ , то, в силу данного определения,

${\displaystyle A=\lim _{|\tau |\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{i_{\tau }}F(\xi _{i})\triangle s_{i}=\int \limits _{0}^{s}F(s)ds}$ .

Если положение точки на траектории её движения описывается с помощью какого-либо другого параметра ${\displaystyle t}$ (например, времени) и если величина пройденного пути ${\displaystyle s=s(t)}$ , ${\displaystyle a\leq t\leq b}$ является непрерывно дифференцируемой функцией, то из последней формулы получится

${\displaystyle A=\int \limits _{a}^{b}F[s(t)]s'(t)dt}$ .

В термодинамике работа, совершённая газом при расширении^[6], рассчитывается как интеграл давления по объёму:

${\displaystyle A_{1\rightarrow 2}=\int \limits _{V_{1}}^{V_{2}}PdV}$ .

Работа, совершённая над газом, совпадает с этим выражением по абсолютной величине, но противоположна по знаку.

• Естественное обобщение этой формулы применимо не только к процессам, где давление есть однозначная функция объёма, но и к любому процессу (изображаемому любой кривой в плоскости ${\displaystyle PV}$ ), в частности, к циклическим процессам.
• В принципе, формула применима не только к газу, но и к чему угодно, способному оказывать давление (надо только чтобы давление в сосуде было всюду одинаковым, что неявно подразумевается в формуле).

Эта формула непосредственно связана с механической работой, хотя, казалось бы, относится к другому разделу физики. Сила давления газа направлена ортогонально к каждой элементарной площадке и равна произведению давления ${\displaystyle P}$ на площадь ${\displaystyle dS}$ площадки.При расширении сосуда, работа, совершаемая газом для смещения ${\displaystyle h}$ одной такой элементарной площадки, составит

${\displaystyle dA=PdSh}$ .

Это и есть произведение давления на приращение объёма вблизи элементарной площадки. После суммирования по всем ${\displaystyle dS}$ , получится результат, где будет уже полное приращение объёма, как и в главной формуле раздела.

• Закон сохранения энергии
• Теорема о кинетической энергии системы
• Механические приложения криволинейных интегралов

• История механики с древнейших времён до конца XVIII в. В 2 т. М.: Наука, 1972.
• Кирпичёв В. Л. Беседы о механике. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.
• Льоцци М. История физики. М.: Мир, 1970.
• Мах Э. Принцип сохранения работы: История и корень его. СПб., 1909.
• Мах Э. Механика. Историко-критический очерк её развития. Ижевск: РХД, 2000.
• Тюлина И. А. История и методология механики. М.: Изд-во МГУ, 1979.