Признак Гаусса

Пусть дан ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,(a_{n}\geqslant 0)}$ и ограниченная числовая последовательность ${\displaystyle \{c_{n}\}}$ . Тогда если отношение ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}}$ представимо в виде:

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\alpha +{\frac {\beta }{n}}+{\frac {c_{n}}{n^{\lambda }}},}$

где ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\lambda }$ — постоянные числа (${\displaystyle \lambda >1}$ ), то ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ сходится при ${\displaystyle \alpha >1}$ и расходится при ${\displaystyle \alpha <1}$ . Если же ${\displaystyle \alpha =1}$ , то ряд сходится при ${\displaystyle \beta >1}$ и расходится при ${\displaystyle \beta \leqslant 1}$ .