Порядок элемента
Порядок элемента в теории групп — наименьшее положительное целое , такое что -кратное групповое умножение данного элемента на себя даёт нейтральный элемент:
- .
Иными словами, — количество различных элементов циклической подгруппы, порождённой данным элементом. Если такого не существует (или, эквивалентно, число элементов циклической подгруппы бесконечно), то говорят, что имеет бесконечный порядок. Обозначается как или .
Изучение порядков элементов группы может дать сведения о её структуре. Несколько глубоких вопросов о связи порядка элементов и порядка группы содержатся в различных проблемах Бёрнсайда, некоторые из них остаются открытыми.
Основные свойства
Порядок элемента равен единице тогда и только тогда, когда элемент является нейтральным.
Если всякий не нейтральный элемент в совпадает со своим обратным (то есть
), то
и
является абелевой, поскольку
. Обратное утверждение в общем случае неверно: например, (аддитивная) циклическая группа
целых чисел по модулю 6 — абелева, но число 2 имеет порядок 3:
.
Для любого целого тождество
выполнено тогда и только тогда, когда
делит
.
Все степени элемента бесконечного порядка имеют также бесконечный порядок. Если имеет конечный порядок, то порядок
равен порядку
, делённому на наибольший общий делитель чисел
и
. Порядок обратного элемента совпадает с порядком самого элемента (
).
Связь с порядком группы
Порядок любого элемента группы делит порядок группы. Например, в симметрической группе , состоящей из шести элементов, нейтральный элемент
имеет (по определению) порядок 1, три элемента, являющихся корнями из
— порядок 2, а порядок 3 имеют два оставшихся элемента, являющихся корнями элементов порядка 2: то есть, все порядки элементов являются делителями порядка группы.
Частично обратное утверждение верно для конечных групп (теоретико-групповая теорема Коши): если простое число делит порядок группы
, то существует элемент
, для которого
. Утверждение не выполняется для составных порядков, так, четверная группа Клейна не содержит элемента порядка четыре.
Порядок произведения
В любой группе .
Не существует общей формулы, связывающей порядок произведения с порядками сомножителей
и
. Возможен случай, когда и
, и
имеют конечные порядки, в то время как порядок произведения
бесконечен, также возможно, что и
, и
имеют бесконечный порядок, в то время как
конечен. Пример первого случая — в симметрической группе над целыми числами перестановки, задаваемые формулами
, тогда
. Пример второго случая — перестановки в той же группе
, произведение которых является нейтральным элементом (перестановка
, оставляющая элементы на своих местах). Если
то можно утверждать, что
делит наименьшее общее кратное чисел
и
. Следствием этого факта является, что в конечной абелевой группе порядок любого элемента делит максимальный порядок элементов группы.
Подсчёт по порядку элементов
Для данной конечной группы порядка
, число элементов с порядком
(
— делитель
) кратно
, где
— функция Эйлера, дающая число положительных чисел, не превосходящих
и взаимно простых с ним. Например, в случае
, и имеется в точности два элемента порядка 3; при этом данное утверждение не даёт никакой полезной информации относительно элементов порядка 2, поскольку
, и очень ограниченную информацию о составных числах, таких как
, поскольку
, и в группе
имеется нуль элементов порядка 6.
Связь с гомоморфизмами
Гомоморфизмы групп имеют свойство понижать порядок элементов. Если является гомоморфизмом, и
— элемент конечного порядка, то
делит
. Если
инъективно, то
. Этот факт может быть использован для доказательства отсутствия (инъективного) гомоморфизма между двумя какими-либо заданными группами. (Например, не существует нетривиального гомоморфизма
, поскольку любое число, за исключением нуля, в
имеет порядок 5, а 5 не делит ни один из порядков 1, 2 и 3 элементов
.) Другим следствием является утверждение, что сопряжённые элементы имеют одинаковый порядок.
Литература
- Курош А.Г. Теория групп. — Москва: Наука, 1967. — ISBN 5-8114-0616-9.
- Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.